$a$ ve $b$ farklı grup elemanları olmak üzere $o(a)=2$, $o(b)=2$, $o(ab)=7$ olan iki grup örneği veriniz.

Question

İki tane dememin sebebi birisi bariz. o(a)=2 demek order'ı iki olan eleman demek.

Answer 1

Gruplar birbirini icermesin demek de sorunu cozmuyor ne yazik ki. Soruyu soyle degistirirsek boyle demenin sorunu neden cozmedigi anlasilabilir.

$a^2=b^2=(ab)^2=1$ olan iki grup ornegi verin deseydik, soruyu nasil yanitlayacaktik? Boyle bir grup besbelli ki $K=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ grubunun bir kopyasini icerecek bir grup olacak. Bu durumda verilecek butun ornekler de dolayisiyla $K$ grubunun bir kopyasini iceren ornekler olacak. Yani soruyu asil yanitlayan eylem $K$ grubunu bulmaktir. Bu nedenle birbirlerini icermesinler demek de soruyu anlamli bir hale getirmiyor. Soruyu cozmek demek hala 'o bariz' grubu bulmaktan ibaret.

 

Gelelim orijinal soruya. $a$ ve $b$ duzlemin iki yansimasi olsun. Acaba bileskeleri duzlemi $2\pi/7$ derece donduren iki yansima bulunabilir mi?

Answer 2

Evet haklısınız sanırım. Sorunun orjinali normalde bu:

Find a group G and two elements a and b of G such that o(a) = 2, o(b) = 2 and o(ab) = 7.

Ben de bu soruyu, bariz cevaplardan birisi order'i 14 olan dihedral group olduğu için

2 tane diye değiştirmeye çalıştım. Diğer düşündüğüm cevap da Z/Z7 ' de 2x2 matrislerle ilgili bir cevaptı.

Answer 3

Bu soruyu anlamadım. O "bariz" grubu içeren bir başka grup al mesela...

Answer 4

Tam olarak sorunun kastını anlayamadım belki de. $a, b$ elemanlarıyla gerilen ve sadece $a^2=b^2=(ab)^7=1$ ilişkilerini sağlayan bir grup işi görecektir. Başka örnekler aranıyorsa, üreteçlerin arasına $c,d, \dots$ gibi elemanlar eklenerek istenildiği kadar örnek elde edilebilir.

Answer 5

Evet dediğiniz gibi bir grup işi görecektir. Ama nedir bu grup? Açık ve seçik tüm elemanları belli olan bir grup olsun. o(a)=2, o(b)=2, o(ab)=7 olan elemanlar açık, seçik belirtilsin.

Bariz yerine şunu diyeyim o halde. Birbirini içermeyen gruplar olsun.

Comments

Bir evvel ki cevapta belirtilen grubun kendisi de elemanları da açık. $$G=\{a,b: a^2=b^2=(ab)^7=1\}$$

Herhalde daha farklı bir şey kastediyorsunuz ama anlayamadım.