$e$ sayisi neden askin?

Question

$e$ sayisinin askin (transcendental) oldugunu gosteriniz? 

ilgili soru: $e$ sayisi neden irrasyonel..

Comments

Matematik dunyasi 2014 yilina ait sayilarini incelerken $e$ ve $pi$ sayilarinin kesirli olmamaları ile askin olmalari üzerine çok hoşuma giden dili anlasilir kanitlarla karsilastim. Elimden geldiğince paylaşmak istedim.

Answer 1

Bir çelişkiye ulaşmak maksadıyla, $e$ sayısının cebirsel olduğunu varsayalım. O zaman derecesi $n$ olan, tam sayı katsayılı bir $\sum_{k=0}^{n}a_kx^k$ polinomu için

$a_0+a_1e+a_2e^2+...+a_ne^n=0$        $(\ast)$

olur. Yeterince büyük bir $p$ asal sayısı alarak, derecesi $m=(n+1)p-1$ olan

$f(x)=x^{p-1}(x-1)^p...(x-n)^p$

polinomu tanımlayalım. Son olarak da,

$J=a_0I_f(0)+a_1I_f(1)+...+a_nI_f(n)$

diyelim. [2] eşitliği $J$'ye uygulandığında $(\ast)$ nedeniyle,

$J=\sum_{k=0}^{n}a_kI_f(k)$

     $=\sum_{k=0}^{n}(e^k\sum_{j=0}^{m}f^{(j)}(0)-\sum_{j=0}^{m}f^{(j)}(k))$

     $=\sum_{k=0}^{n}a_ke^k\sum_{j=0}^{m}f^{(j)}(0)-\sum_{k=0}^{n}a_k\sum_{j=0}^{m}f^{(j)}(k)$

     $=-\sum_{k=0}^{n}\sum_{j=0}^{m}a_kf^{(j)}(k)$

olur. Şimdi, $f^{(j)}(k)$ değerlerini göz önüne alalım:

Eğer $j<p-1$ ise, $f$'nin çarpanlarından hiçbiri türev alındığında sıfırlanmayacağından, her $k$ için $f^{(j)}(k)=0$ olur; $j=p-1$ olduğunda, $f^{(j)}(k)$ ifadesinin her teriminde sadece $x^{p-1}$ çarpanı sıfırlanacağından $k>0$ iken $f^{(j)}(k)=0$ sağlanır; $j=p-1$ ve $k=0$ durumunda, alınan türeve sıfırdan farklı $f^{(p-1)}(0)=(p-1)!(-1)^{np}(n!)^p$ değerini ekleyen terim $x^{p-1}$ olur; $j\geq p$olduğunda ise, $f^{(j)}(k)$ ifadesinde $(x-k)^p$ çarpanının türev alma işlemi sonunda kaybolduğu termler sıfırdan farklıdırlar ve bu durumda ilgili terimlerin baş katsayıları $p!$ sayısının bir katı olur.

Şimdi de, $p>n$ olduğunu kabul edelim: O zaman $f^{(p-1)}(0)$ sayısı $(p-1)!$ sayısının bir katıdır fakat $p!$ sayısının bir katı değildir. Böylece, $N$ bir tam sayı ve $M$ de $p$'ye bölünmeyen bir tam sayı olmak üzere,

$J=Np!+a_0M(p-1)!=(p-1)!(Np+a_0M)$

olduğu görülür. Bir varsayım daha yaparak, $p>a_0$ olduğunu kabul edelim: Bu durumda $Np+a_0M$ sayısı 0'dan farklı olur ve bundan dolayı

$|J|\geq (p-1)!$         $(\ast\ast)$

eşitsizliği sağlanır. Diğer taraftan, basit bir gözlemle $F(k)\leq (2n)^m$ olduğu görüleceğinden, $A=max_{1\leq k\leq n}|a_k|$ ve $p$ sayısına bağlı olmayan bir $C$ sabiti için,

$|J|\leq |a_1|eF(1)+...+|a_n|e^nF(n)$

     $\leq Ane^n(2n)^{(n+1)p-1}$

     $=\frac{Ane^n}{2n}((2n)^{n+1})^p$

     $\leq C^p$

elde edilir. Ancak $C$ sayısı ne olursa olsun yeterince büyük $p$'ler için $(p-1)!>C^p$ olacağından, br üstteki eşitsizlik ile $(\ast\ast)$ eşitsizliği birbirleriyle çelişir.  $\square$

Comments

$I$ ile $F$ fonksiyonlarinin tanimlari nedir?

---

Yukarıda kanit sirasinda baglanti paylasmistim ama belirtmem gerekirdi galiba..

Kanit için ek bilgiler

Katsayilari tam sayi ve derecesi $n$ olan bir $f(x)=\sum_{k=0}^{n}a_kx^k$ polinomu icin , $t>0$ olmak uzere,

$I_f(t)=\int_{0}^{t}e^{t-x}f(x)dx$

olsun. Kismi integrasyon kullanilarak

$I_f(t)=(-e^{t-x}f(x))|_0^t+\int_{0}^{t}e^{t-x}f'(x)dx$

          $=e^tf(0)-f(t)+\int_{0}^{t}e^{t-x}f'(x)dx$    $[1]$

yazabiliriz. Boylece $f'(x)$ de derecesi $n-1$ olan tam sayi katsayili bir polinom oldugundan, $[1]$`deki integral de kismi integrasyon işlemi $n+1$ kez tekrarlanarak,

$I_f(t)=\sum_{k=0}^{n}(e^tf^{(k)}(0)-f^{(k)}(t))$        $[2]$

olduğu gorulur. Simdi $F(x)= \sum_{k=0}^{n}|a_k|x^k$ tanimlamasini yapalim. Bu durumda $t>0$ ve $n\geq1$ için $F(t)>F(0)$ oluolur ve integraller için üçgen esitsizligi kullanirsak

$I_f(t)\leq \int_{0}^{t}|e^{t-x}||f(x)|dx$

          $\leq e^t\int_{0}^{t}e^{-x}F(x)dx$

          $\leq te^tF(t)$            $[3]$

kestirimi elde edilir.

---

Bunlari ben sorduktan sonra yazdiysan, hizini tebrik ederim.

---

Hayir daha önce de dedigim gibi 

http://www.matkafasi.com/14530/%24-pi%24-sayisinin-askinligi?state=edit-15155 

baglantidaki sorunun kanitinda da kullandigim için sadece geçiş koymuştum tekrar yazmamak adina :) simdi kopyala-yapistir yaptim maalesef :/

---

Tamam o zaman, psikolojimi bozmayayim. :)

---

Hocam su cevabi 3 saatte yazdim dun gece, sen önce bendeki psikolojiyi düşün :)