$p>2$ bir asalsa, \[ !p=0!+1!+2!+\cdots +\left( p-1\right) ! \] toplamı $p$'ye bölünebilir mi?

Question

Kurepa sol faktöriyel olarak adlandırılan aşağıdaki aritmetik fonksiyonu tanımlamış

\[
!p=0!+1!+2!+\cdots+\left( p-1\right) !
\]

ve şu iddiayı ortaya atmıştır: $p>2$ bir asalsa, \[ !p=0!+1!+2!+\cdots +\left( p-1\right) ! \] toplamı $p$'ye bölünemez! İddiası doğru mudur yoksa bir ters örnek bulunabilir mi, bildiğim kadarıyla henüz açık problem.

Answer 1

Bana sanki ispatlanabilirmis gibi geldi. Kafamdan gecenleri yazayim belki daha sonra bunu bir ispata tamamlayabilirim.

Oncelikle ifadeyi biraz ``guzellestirelim.'' 0! Terimini yoksayip, her terimde ortak carpanlari sondan baslayarak gruplarsak

$!p = 1+2(1+3(\cdots +(p-1)(p+1))\cdots)$

seklinde yazabiliriz (di mi?). Simdi bu sayiyi bir oruntu olarak yazalim. $a_0 = p$ olmak uzere $a_k = (a_{k-1}+1)(p-k) + 1$ seklinde ifade edebiliriz (di mi?). O halde $a_{p-1} = !p$ olur. Sayi kuraminda pek iyi olmadigim icin bu oruntunun $\mathbb Z / p\mathbb Z$ uzerinde nasil ilerledigini kolayca goremiyorum, ama daha dusunup yazacagim.

Comments

sol faktöryeli yazabiliriz di mi diyerek yazdığın biçimi indis kullanarak yazabilir misin? böyle gerçekten anlayamıyorum

---

$(p-1)! = (p-1)(p-2)! \implies (p-2)! + (p-1)! = (1+(p-1))(p-2)!$

$(p-2)! = (p-2)(p-3)! \implies (p-3)! + (p-2)! + (p-1)! = (1 + (p-2) ( 1+(p-1)) )(p-3)!$

Bunu yeterince yaparsak, faktoryelli ifade 1'e gelecektir ve ilk yazdigim denklem cikacak. Yukarida toplama $p!$ terimini de dahil etmisim yanlislikla ama $p$'ye bolunebilirligi degistirmiyor.

Mesela $ p=5$ icin $!p = 1 + 2 ( 1+3 (1+4)) = 1+2 (1 +3 + 3\cdot4) = 1 + 1\cdot2 + 2\cdot3 + 2\cdot3\cdot4$