$\mathbb{L}=[(\mathbb{L},\oplus),\odot, (\mathbb{R},+,\cdot),\|\cdot\|_{\mathbb{L}}]$ normlu lineer uzay olmak üzere $\psi(\lambda,x)=\lambda \odot x$ kuralı ile verilen $\psi:\mathbb{R}\times \mathbb{L}\longrightarrow \mathbb{L}$ fonksiyonunun sürekli olduğunu gösteriniz.

Question

Sorunun ilk halinde cisim hem $\mathbb{R}$ hem de $\mathbb{C}$ olabilir diye $\mathbb{R}$ veya $\mathbb{C}$ diye belirtmek yerine sadece $\mathbb{F}$ yazmıştım ama sonra Doğan hocamın da uyarısıyla cismin $\mathbb{C}$ olamayacağını gördüm. Ben de soruyu şu şekilde revize ettim:

$\mathbb{L}=[(\mathbb{L},\oplus),\odot, (\mathbb{R},+,\cdot),\|\cdot\|_{\mathbb{L}}]$ normlu lineer uzay olmak üzere $$\psi(\lambda,x)=\lambda \odot x$$ kuralı ile verilen $$\psi:\mathbb{R}\times \mathbb{L}\longrightarrow \mathbb{L}$$ fonksiyonunun sürekli olduğunu gösteriniz.

Ayrıca şunu da belirtmekte fayda var. Eğer süreklilikten bahsediyorsak $\mathbb{R}\times\mathbb{L}$ üzerinde de en az bir norm olmalı. Buradaki normu şöyle ele alıyoruz:

 

$$\|\cdot\|_{\mathbb{R}\times \mathbb{L}}:\mathbb{R}\times\mathbb{L}\to\mathbb{R}, \ \|(\lambda,x)\|:=|\lambda|+\|x\|_{\mathbb{L}}$$
 
Sorunun ilk hali aşağıdaki gibiydi:

$\mathbb{L}=[(\mathbb{L},\oplus),\odot, (\mathbb{F},+,\cdot),\|\cdot\|_{\mathbb{L}}]$ normlu lineer uzay olmak üzere $$\psi(\lambda,x)=\lambda \odot x$$ kuralı ile verilen $$\psi:\mathbb{F}\times \mathbb{L}\longrightarrow \mathbb{L}$$ fonksiyonunun sürekli olduğunu gösteriniz.

Comments

Burada, sanırım, $\mathbb{F}$ nin, $\mathbb{R}$ nin bir alt cismi olduğu kabul ediliyor.

---

Hocam ben yazmayı unutmuşum. $\mathbb{F}=\mathbb{R}$ veya $\mathbb{F}=\mathbb{C}.$

Answer 1

$$\psi(\lambda,x)=\lambda\odot x$$ kuralı ile verilen $$\psi:\mathbb{R}\times\mathbb{L}\to\mathbb{L}$$ fonksiyonunun sürekli olduğunu göstermek için $$(\forall (\lambda',a)\in\mathbb{R}\times\mathbb{L})(\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)(\|(\lambda,x)-(\lambda',a)\|_{\mathbb{R}\times\mathbb{L}}<\delta\Longrightarrow \|\psi(\lambda,x)-\psi(\lambda',a)\|_{\mathbb{L}}<\epsilon)\ldots (*)$$ önermesinin doğru olduğunu göstermeliyiz.

$(\lambda',a)\in \mathbb{R}\times\mathbb{L}$  ve  $\epsilon>0$ verilmiş olsun.

$\delta>0$ sayısını nasıl seçmemiz gerektiğini anlamak için $$\|\psi(\lambda,x)-\psi(\lambda',a)\|_{\mathbb{L}}$$ normunu hesaplayalım. Bu hesaplamayı yaparken

$\|(\lambda,x)-(\lambda',a)\|_{\mathbb{R}\times\mathbb{L}}=\|(\lambda-\lambda',x-a)\|_{\mathbb{R}\times\mathbb{L}}=|\lambda-\lambda'|+\|x-a\|_{\mathbb{L}}<\delta$

$\Longrightarrow$

$|\lambda-\lambda'|<\delta$  ve  $\|x-a\|_{\mathbb{L}}<\delta\ldots (**)$ olduğu hususunu da göz önünde bulunduracağız.

$$\begin{array}{rcl}\|\psi(\lambda,x)-\psi(\lambda',a)\|_{\mathbb{L}} & = & \|\lambda\odot x-\lambda'\odot a\|_{\mathbb{L}} \\ \\ & = & \|\lambda\odot x-\lambda\odot a+\lambda \odot a-\lambda'\odot a \|_{\mathbb{L}} \\ \\ & = & \|\lambda\odot (x-a)+(\lambda-\lambda')\odot a)\|_{\mathbb{L}} \\ \\ & \leq & |\lambda|\cdot\|x-a\|_{\mathbb{L}}+|\lambda-\lambda'|\cdot\|a\|_{\mathbb{L}} \\ \\ & \overset{(**)}{<} & |\lambda|\cdot\delta+\delta\cdot\|a\|_{\mathbb{L}} \\ \\ & < & |\lambda|\cdot\delta+\delta\cdot\|a\|_{\mathbb{L}} +\delta \\ \\ & = & \delta\cdot (|\lambda|+\|a\|_{\mathbb{L}}+1)\end{array}$$

olduğundan her $\epsilon>0$ için $0<\delta\leq \frac{\epsilon}{|\lambda|+\|a\|_{\mathbb{L}}+1}$ seçilirse her $(\lambda,x)\in\mathbb{R}\times\mathbb{L}$ için $$\|(\lambda,x)-(\lambda',a)\|_{\mathbb{R}\times\mathbb{L}}<\delta\Longrightarrow \|\psi(\lambda,x)-\psi(\lambda',a)\|_{\mathbb{L}}=\ldots <\frac{\epsilon}{|\lambda|+\|a\|_{\mathbb{L}}+1}\cdot (|\lambda|+\|a\|_{\mathbb{L}}+1)=\epsilon$$ koşulu sağlanır. O halde $(*)$ önermesi doğrudur. Dolayısıyla $\psi$ fonksiyonu süreklidir.