(Bu soru, 1978 de, Romanya da yapılan (Türk takımının ilk kez katıldığı) IMO da sorulmuş.)
$0<n<m$ ve $1978^n$ ile $1978^m$ nin son 3 basamağı aynı olsun.
Bu, $1000\mid (1978^m-1978^n)$ olması ve $1000\mid (1978^n(1978^{m-n}-1))$ olması demektir.
$1000=2^3\cdot5^3$ olduğundan, $2^3\mid 1978^n$ ve $5^3\mid (1978^{m-n}-1) $ olmalıdır.
İlki için, $n\geq3$ olması gerekli ve yeterlidir.
İkinci kısım için:
$5^3\mid (1978^{m-n}-1) $ olması $1978^{m-n}\equiv 1\ (\!\!\!\mod{125}) $ olmasına eşdeğerdir.
$1978\equiv3\mod{5}$.
$3$ ün mod $5$ kuvvetleri: $\overline{3},\overline{9},\bar{2},\bar{1}$
Buradan, $4\mid m-n$ olması gerekdiği sonucuna varılır.
$1978\equiv3\ (\!\!\!\mod{25})$, $3$ ün mod $25$ kuvvetleri:
$\bar{3},\bar{9},\bar{2},\bar{6},\overline{18},\bar{4},\overline{12},\overline{11},\bar{8},\overline{-1},\overline{-3},\overline{-9},\overline{-2},\overline{-6},\overline{-18},\overline{-4},\overline{-12},\overline{-11},\overline{-8},\bar{1}$
($3$ ün $4k$ şeklindeki üslerini incelemek de yeterli olurdu.)
Buradan, $20\mid m-n$ olması gerekdiği (ve $1978^{20}\equiv1\ (\!\!\!\mod25)$ olduğu) sonucuna varılır.
Şimdi de $1978^{20}\equiv 1\ (\!\!\!\mod{125}) $ olup olmadığını kontrol edelim.
($1978\equiv -22\ (\!\!\!\mod 125)$) $(-22)^{20}= 22^{20}=2^{20}\cdot11^{20}$
$2^{10}=1024\equiv 24\ (\!\!\!\mod125)\quad 2^{20}\equiv 24^2\equiv576\equiv 76\ (\!\!\!\mod125)$
$11^{20}=121^{10}\equiv(-4)^{10}\equiv2^{20}\equiv76\ (\!\!\!\mod125)$
$76^2=75^2+150+1\equiv 26\ (\!\!\!\mod125)$
$1978^{20}\equiv 26\ (\!\!\!\mod 125)$. $1978^{20} $ mod $125$, $1$ e denk değil.
Fakat $1978$ in bir kuvveti, mod $125$, $1$ e denk olmak zorunda
ve $20$ nin katı şeklinde olup, bu üslerin en küçüğü ($125$ ile aralarında asal olan, $125$ den küçük doğal sayıların sayısı olan) $\phi(125)=5^3-5^2=100$ ü bölmelidir.
(Veya $100$ ü geçemeyeceği için, $1978^{40}$, $1978^{60}$,$1978^{80}$, mod $125$ hesaplanıp, $1$ e denk olmadıkları görülür.)
Bu nedenle $m-n$ nin en küçük değeri $100$, $m+n$ nin en küçük değeri ise $106$ dir.