$(X,\preceq)$ poset ve $A\subseteq X$ olmak üzere $A$ kümesinin minimumu varsa $\inf A=\min A$ olduğunu gösteriniz.

Question

Yani bir posette bir kümenin minimumu varsa o kümenin infimumu, minimumuna eşit olduğunu gösteriniz.

Benzer şekilde $(X,\preceq)$ poset ve $A\subseteq X$ olmak üzere $A$ kümesinin maksimumu varsa $\sup A=\max A$ olduğunu gösteriniz. Yani bir posette bir $A$ kümesinin maksimumu varsa $A$ kümesinin maksimalleri sadece $A$ kümesinin maksimumundan ibaret olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$A$ kümesinin minimumu $m\in A$ olsun. Tanım gereği $\forall x\in A$ için $m⪯x$ dir. Yani $m$ sayısı $A$ nın tüm alt sınırlarından daha büyük veya onlara eşittir. Şimdi $b\in A$ sayısı $A$ nın bir alt sınırı olsun.; yani $\forall x\in A$ için $b⪯x$ olsun. Fakat $m\in A$'nın minimum olduğundan $b⪯m$ olmalıdır. Buna göre $m$ sayısı $A$ nın diğer tüm alt sınırlarından büyüktür. O zaman infimum tanımından $m=\inf A$ olmalıdır. Benzer olarak $\sup A=\max A$ olduğu da kanıtlanabilir.