$(X,\preceq)$ poset ve $A\subseteq X$ olmak üzere $A$ kümesinin infimumu (varsa) tektir. Gösteriniz.

Question

Yani $(X,\preceq)$ poset, $A\subseteq X$ ve $a,b\in X$ olmak üzere $$(\inf A=a)(\inf A=b)\Rightarrow a=b$$ olduğunu gösteriniz.

Answer 1

Varsayalım ki $A$ kümesinin $\text{inf} A=a$  ve  $\text{inf }A=b$ olacak şekilde farklı iki infimumu mevcut olsun. Alt sınır tanımından

$\forall x\in A$ için $a\preceq x$  ve $b\preceq x$ dir. Burada $x=b$  alırsak $b\preceq a$  ve  $x=a$ alırsak $a\preceq b$ yazılabilir.

Kısmi sıralamanın antisimetri özelliğinden   $ b\preceq a$  ve  $a\preceq b$ ise $a=b$ olur. Dolayısıyla $a\ne b$ varsayımımız yanlıştır. İnfimum mevcut ise biricik olmak zorundadır.

Comments

Burada farkli oldugunu varsayip celiskiye dusmek yerine, direkt olarak $inf A = a$ ve $inf A = b$ ise $a = b$ olur diyerek de kanitlayabiliriz.