Question

$X$ bir küme ve $a\in X$ olmak üzere $$\mathcal{P}=2^{X\setminus\{a\}}$$ ailesinin $X$ kümesi üzerinde bir primal olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$P_1)$ $a\in X$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} a\in X\Rightarrow X\nsubseteq X\setminus\{a\}\Rightarrow X\notin 2^{X\setminus\{a\}} \\ \\ \mathcal{P}=2^{X\setminus\{a\}}\end{array}\right\}\Rightarrow X\notin \mathcal{P}.$

 

$P_2)$ $A\in\mathcal{P}$ ve $B\subseteq A$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} A\in \mathcal{P}\Rightarrow A\subseteq X\setminus\{a\} \\ \\ B\subseteq A \end{array}\right\}\Rightarrow B\subseteq X\setminus\{a\}\Rightarrow B\in\mathcal{P}.$

 

$P_3)$ $A\notin\mathcal{P}$ ve $B\notin\mathcal{P}$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} A\notin\mathcal{P}\Rightarrow A\nsubseteq X\setminus \{a\}\Rightarrow a\in A \\ \\ B\notin\mathcal{P}\Rightarrow B\nsubseteq X\setminus \{a\}\Rightarrow a\in B \end{array}\right\}\Rightarrow A\cap B\nsubseteq X\setminus \{a\}\Rightarrow A\cap B\notin \mathcal{P}.$