Question

$\mathbb{R}$ gerçel sayılar kümesi olmak üzere $$\mathcal{P}=\{A:|A^c|\geq\aleph_0\}$$ ailesi, $\mathbb{R}$ kümesi üzerinde bir primal mıdır? Yanıtınızı kanıtlayınız.

 

Tanım: $X$ herhangi bir küme ve $\mathcal{P}\subseteq 2^X$ olsun.

$\mathcal{P}, \ X\text{'de primal}:\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} \mathbf{P_1)} \ X\notin \mathcal{P} \\ \mathbf{P_2)} \ (A\in\mathcal{P})(B\subseteq A) \Rightarrow B\in\mathcal{P} \\ \mathbf{P_3)} \ A\cap B\in\mathcal{P} \Rightarrow (A\in\mathcal{P} \vee B\in\mathcal{P}) \end{array}\right.$ 

 

Teorem: $X$ herhangi bir küme ve $\mathcal{P}\subseteq 2^X$ olsun.

$\mathcal{P}, \ X\text{'de primal}:\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} \mathbf{P_1)} \ X\notin \mathcal{P} \\ \mathbf{P_2)} \ (B\notin\mathcal{P})(B\subseteq A) \Rightarrow A\notin\mathcal{P} \\ \mathbf{P_3)} \ (A\notin\mathcal{P})(B\notin\mathcal{P})\Rightarrow A\cap B\notin\mathcal{P} \end{array}\right.$

Answer 1

$P_1)$ $|X^c|=|\emptyset|=0\ngeq\aleph_0\Rightarrow X\notin \mathcal{P}.$

 

$P_2)$ $A\in \mathcal{P}$ ve $B\subseteq A$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} A\in \mathcal{P}\Rightarrow |A^c|\ngeq \aleph_0 \\ \\A\subseteq B\Rightarrow B^c\subseteq A^c\Rightarrow |B^c|\leq |A^c| \end{array}\right\}\Rightarrow |B^c|\ngeq \aleph_0\Rightarrow B\in \mathcal{P}.$

 

$P_3)$ $A\notin \mathcal{P}$ ve $B\notin \mathcal{P}$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} A\notin \mathcal{P}\Rightarrow |A^c|\ngeq \aleph_0 \\ \\ B\notin \mathcal{P}\Rightarrow |B^c|\ngeq \aleph_0 \end{array}\right\}\Rightarrow |(A\cap B)^c |=|A^c\cup B^c|\ngeq \aleph_0\Rightarrow A\cap B\in \mathcal{P}.$