$\cos\left(\dfrac\pi7\right)\cdot \cos\left(\dfrac{2\pi}7\right)\cdot\cos\left(\dfrac{3\pi}7\right)=\dfrac18$ olduğunu gösteriniz.

Question

$\cos\left(\dfrac\pi7\right).\cos\left(\dfrac{2\pi}7\right).\cos\left(\dfrac{3\pi}7\right)=\dfrac18$ olduğunu gösteriniz.

Comments

Son iki soru $\cos(\pi-x)=-\cos x$ olduğundan biri diğerini gösteriyor. $1,2,3$ diye devam ettiğinden genelleme adına buna cevap yazdım.

---

Kompleks sayılarla da bi cevap verilebilir. $2\cos \alpha=\text{cis}(\alpha)+\text{cis}(-\alpha)$ gibisinden bir polinom oluşturulabilir.

Answer 1

Genellenebilir olarak ($n=3$ ve $2n+1=7$ olacak şekilde) $$C_3=\prod_{k=1}^3\cos\left(\dfrac{k}{7}\pi\right) \ \ \ \text { ve } S_3=\prod_{k=1}^3\sin\left(\dfrac{k}{7}\pi\right)$$ olsun. Bu durumda $$\begin{align*}C_3S_3\ &= \ \prod_{k=1}^3\cos\left(\dfrac{k}{7}\pi\right)\sin\left(\dfrac{k}{7}\pi\right)\\[10pt]  &= \ \dfrac1{2^3}\prod_{k=1}^32\cos\left(\dfrac{k}{7}\pi\right)\sin\left(\dfrac{k}{7}\pi\right)\\[10pt] &= \ \dfrac1{2^3}\prod_{k=1}^3\sin\left(\dfrac{2k}{7}\pi\right)\\[10pt] &=^{\color{red}*} \ \dfrac1{2^3}\prod_{k=1}^3\sin\left(\dfrac{k}{7}\pi\right)\\[10pt] &= \ \dfrac1{2^3}S_3\end{align*}$$ eşitliği sağlanır.

Yıldızlı yerde şunu yapıyoruz: $\sin (\pi-x)=\sin x$ eşitliği gereği $2k$'ları $k$ haline getirebiliriz.
$n=3$ durumu için $2,4,6 \to 2,3,1$.
$n=4$ durumu için $2,4,6,8 \to 2,4,3,1$.
$n=5$ için bakarsak $2,4,6,8,10 \to 2,4,5,3,1$.
Çarpımı $\lfloor n/2\rfloor$ ve öncesi ile sonrası olarak ayırmamız ve ikinci kısım için $\sin (\pi-x)=\sin x$ kullanmamız yeteri.

Answer 2

$$\begin{equation} \begin{aligned} & \cos \left(\frac{\pi}{7}\right) \cos \left(\frac{2 \pi}{7}\right) \cos \left(\frac{3 \pi}{7}\right)= \\ & =\frac{4}{8 \sin \left(\frac{\pi}{7}\right)} \times 2 \sin \left(\frac{\pi}{7}\right) \cos \left(\frac{\pi}{7}\right) \cos \left(\frac{2 \pi}{7}\right) \cos \left(\frac{3 \pi}{7}\right) \\ & =\frac{2}{8 \sin \left(\frac{\pi}{7}\right)} \times 2 \sin \left(\frac{2 \pi}{7}\right) \cos \left(\frac{2 \pi}{7}\right) \cos \left(\frac{3 \pi}{7}\right) \\ & =\frac{1}{8 \sin \left(\frac{\pi}{7}\right)} \times 2 \sin \left(\frac{4 \pi}{7}\right) \cos \left(\frac{3 \pi}{7}\right) \\ & =\frac{1}{8 \sin \left(\frac{\pi}{7}\right)} \times 2 \sin \left(\pi-\frac{3 \pi}{7}\right) \cos \left(\frac{3 \pi}{7}\right) \\ & =\frac{1}{8 \sin \left(\frac{\pi}{7}\right)} \times 2 \sin \left(\frac{3 \pi}{7}\right) \cos \left(\frac{3 \pi}{7}\right) \\ & =\frac{1}{8 \sin \left(\frac{\pi}{7}\right)} \times \sin \left(\frac{6 \pi}{7}\right) \\ & =\frac{1}{8 \sin \left(\frac{\pi}{7}\right)} \times \sin \left(\pi-\frac{6 \pi}{7}\right) \\ & =\frac{1}{8 \sin \left(\frac{\pi}{7}\right)} \times \sin \left(\frac{\pi}{7}\right) \\ & =\frac{1}{8} \end{aligned} \end{equation}$$