Question

$$3x^2-y^2=2018^n$$ denkleminin tam sayı çözümleri bulunmasını sağlayan tüm $n$ pozitif tam sayılarını bulunuz.

MD 116.Sayı A.571

Answer 1

$n$ çift olsun ve en az bir çözüm bulunsun. Bu durumda $$3x^2-y^2\equiv 2018^n\mod 3$$    $$-y^2\equiv 2^n\equiv 1\mod 3$$ $$y^2\equiv 2\mod 3$$ olmalıdır ancak bu mümkün olmadığından  $n$ tek sayı olmalı.

$n=1$ için  $3a^2-b^2=2018$  eşitliğini sağlayan tamsayılar ($a=27,b=13$) mevcut. $n=2k+1$ için

$$3x^2-y^2=2018^n=2018\cdot 2018^{2k}= (3a^2-b^2)\cdot 2018^{2k}=3\cdot (a\cdot 2018^k)^2 - (b\cdot 2018^k)^2$$ olduğundan $x=27\cdot 2018^k$,  $y=13\cdot 2018^k$ şeklinde çözümler olduğu görülür.