Bu problem üzerinde, Diofant denklemleri ile ilgili bilinmesi faydalı bir çözüm yönteminden bahsedeceğim. Bunun için f(x,y)=x3+y3+2xy2 ifadesinde olduğu gibi homojen bir fonksiyon verilmesi gerekiyor. Her x,y için f(tx,ty)=tnf(x,y) oluyorsa f fonksiyonu n-inci mertebeden homojendir denir.
Çözüm:
x3+y3+2xy2=355 denklemini mod5 te incelersek
x3+y3+2xy2≡0(mod5)
olur. Eğer x≡0(mod5) ise (1) den dolayı y≡0(mod5) olur. x=5a, y=5b olacak şekilde a,b∈Z vardır. Verilen denklemde yazarsak 125∤355 olduğundan buradan çözüm gelmediği anlaşılır.
O halde x≢0(mod5) olsun. Bu halde (x,5)=1 olup x tam sayısının mod5 içinde bir çarpımsal tersi vardır. Diğer bir deyişle (1) denkliğini x ile bölebiliriz.
1+y3x3+2y2x2≡0(mod5)
olur. mod5'deki bu yx elemanına kısaca u diyelim.
u3+2u2+1≡0(mod5)
olur. Fakat u∈{−2,−1,0,1,2} değerleri (2) denkliğini sağlamadığından bu durumda da çözüm yoktur.
Sonuç olarak x3+y3+2xy2=355 Diofant denkleminin tam sayılarda çözümü yoktur.