Processing math: 100%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
426 kez görüntülendi

Problem (Lokman GÖKÇE): x3+y3+2xy2=355 denklemini sağlayan (x,y) tam sayı ikilisi yoktur, gösteriniz.

Lisans Matematik kategorisinde (2.6k puan) tarafından  | 426 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

Bu problem üzerinde, Diofant denklemleri ile ilgili bilinmesi faydalı bir çözüm yönteminden bahsedeceğim. Bunun için f(x,y)=x3+y3+2xy2 ifadesinde olduğu gibi homojen bir fonksiyon verilmesi gerekiyor. Her x,y için f(tx,ty)=tnf(x,y) oluyorsa f fonksiyonu n-inci mertebeden homojendir denir.


Çözüm:

x3+y3+2xy2=355 denklemini mod5 te incelersek

x3+y3+2xy20(mod5)

olur. Eğer x0(mod5) ise (1) den dolayı y0(mod5) olur. x=5a, y=5b olacak şekilde a,bZ vardır. Verilen denklemde yazarsak 125355 olduğundan buradan çözüm gelmediği anlaşılır.

O halde x0(mod5) olsun. Bu halde (x,5)=1 olup x tam sayısının mod5 içinde bir çarpımsal tersi vardır. Diğer bir deyişle (1) denkliğini x ile bölebiliriz.
1+y3x3+2y2x20(mod5)
olur. mod5'deki bu yx elemanına kısaca u diyelim.
u3+2u2+10(mod5)
olur. Fakat u{2,1,0,1,2} değerleri (2) denkliğini sağlamadığından bu durumda da çözüm yoktur.

Sonuç olarak x3+y3+2xy2=355 Diofant denkleminin tam sayılarda çözümü yoktur.

(2.6k puan) tarafından 
20,295 soru
21,836 cevap
73,540 yorum
2,697,179 kullanıcı