$x^3 +y^3 +2xy^2=355$ Denklemi

Question

Problem (Lokman GÖKÇE): $x^3 +y^3 +2xy^2=355$ denklemini sağlayan $(x,y)$ tam sayı ikilisi yoktur, gösteriniz.

Answer 1

Bu problem üzerinde, Diofant denklemleri ile ilgili bilinmesi faydalı bir çözüm yönteminden bahsedeceğim. Bunun için $f(x,y)=x^3 +y^3 +2xy^2$ ifadesinde olduğu gibi homojen bir fonksiyon verilmesi gerekiyor. Her $x,y$ için $f(tx, ty)=t^nf(x,y)$ oluyorsa $f$ fonksiyonu $n$-inci mertebeden homojendir denir.

Çözüm:

$x^3 +y^3 +2xy^2=355$ denklemini $\mod 5$ te incelersek

$$x^3 +y^3 +2xy^2 \equiv 0 \pmod 5 \tag{1}$$

olur. Eğer $x\equiv 0 \pmod 5$ ise $(1)$ den dolayı $y\equiv 0 \pmod 5$ olur. $x=5a$, $y=5b$ olacak şekilde $a,b \in \mathbb Z$ vardır. Verilen denklemde yazarsak $125\nmid 355$ olduğundan buradan çözüm gelmediği anlaşılır.

O halde $x\not\equiv 0 \pmod 5$ olsun. Bu halde $(x,5)=1$ olup $x$ tam sayısının $\mod 5$ içinde bir çarpımsal tersi vardır. Diğer bir deyişle $(1)$ denkliğini $x$ ile bölebiliriz.
$$1+ \dfrac{y^3}{x^3} + 2\dfrac{y^2}{x^2} \equiv 0 \pmod 5$$
olur. $\mod 5$'deki bu $\dfrac{y}{x}$ elemanına kısaca $u$ diyelim.
$$u^3 +2u^2 +1 \equiv 0\pmod 5 \tag{2}$$
olur. Fakat $u \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}$ değerleri $(2)$ denkliğini sağlamadığından bu durumda da çözüm yoktur.

Sonuç olarak $x^3 +y^3 +2xy^2=355$ Diofant denkleminin tam sayılarda çözümü yoktur.