$0$ ve $1$'den oluşan herhangi bir dizi $(1,0,1,0,1,\ldots)$ dizisinin altdizisi mi?

Question

$a_n$ dizisi $(a_n)=(1,0,1,0,1,...)$ kuralı ile verilsin. Yani $n=2k-1$ ise $a_n=1$,  $n=2k$ ise $a_n=0$ . Buna göre  $0$ veya  $1$ elemanlarından oluşan bir dizi $(a_n)$ nin bir alt dizisi olur mu? Örneğin $(0,0,1,0,0,0,0,1,1,1,..)$ dizisi bir alt dizi midir? Ben alt dizi olmadığını düşünüyorum çünkü alt dizi bir fonksiyon olduğundan kuralının da verilmesi gerekmez mi?

Comments

$(0,0,1,0,0,0,0,1,1,1,..)$ nin bir dizi olmadığını mı düşünüyorsun yoksa dizi olup $(a_n)$ n alt dizisi olmadığını mı düşünüyorsun anlayamadım.
$(0,0,1,0,0,0,0,1,1,1,..)$ bir dizi değilse (kuralını ben tahmin edemedim) sorulan soruya cevap vermekte bir yararı olmaz.
İstersen kuralını belirterek bir dizi yaz ve o dizinin, $(a_n)$ in alt dizisi olup olmadığını düşün.

---

Hocam verdiğim kümeyi kafadan attım yani baştaki dizinin bazı terimlerini silerek random aldığımı düşünebilirsiniz. Bir kural yok yani. Bu durumda bir dizi olur mu onu soruyorum.

---

Elbette olur. Kuralını bilmesek bile, bazan, bir bağıntının bir fonksiyon olduğunu göstermek mümkün.

Kapalı fonksiyonları düşün. Veya daha açık bir örnekle:

$f(x)=x^5+x+1$ in ters fonksiyonu, formülünü yazamadığımız bir fonksiyon (ters trigonometrik fonksiyonlar da böyle)

---

Altdizi tanımını şöyle yapıyoruz @nilüferpolatkaya:

$(x_n)$ bir dizi ve $(n_k)$ kesin artan bir doğal sayı dizisi olmak üzere $(x_{n_k})$ dizisine $(x_n)$ dizisinin bir altdizisi denir.

Şimdi bu tanıma göre sorunu tekrar düşün.

---

Sorunun cevabı için şunu düşün:

$(b_n)$ her bir terimi $0$ ya da $1$ olan bir dizi olsun. Tümevarımla:

$\forall k\in\mathbb{N}$ için $b_k=a_{n_k}$ olacak şekilde kesin artan bir $(n_k)$ doğal sayılar dizisini şöyle tanımlayabilir miyiz?

$n_1=\begin{cases} 1&\text{eğer }b_1=1\text{ ise}\\2&\text{eğer }b_1=0\text{ ise}\end{cases}$ olarak tanımlayalım. $a_{n_1}=b_1$ olur.

($i=1,2,\ldots,k$ için $a_{n_i}=b_i$ olacak şekilde (kesin artan) $n_i$ doğal sayıları tanımlanmış ise)

$n_{k+1}$ i  tanımlayabilir misin?

---

Ben de başka bir yöntem önereyim. 1,0,1,0,... Dizisini böyle yatay yazmak yerine

10

10

10

10

10

...

Böyle dikey yazdım ben. Sonra bana herhangi bir dizi verirsen o dizinin $n$inci elemanını $n$inci satırdan seçebilirim. Tabii bunu matematiksel olarak güzelce yazmak lazım.