Question

$(an)$ $\mathbb{R}$ de herhangi bir dizi olsun. Eğer $$ \sum\limits{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}ak=bn$$ ise $$ \sum\limits{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}bk=a_n $$ olduğunu gösteriniz

Answer 1

Bu eşitliği formal yöntemler yardımıyla gösterebiliriz:
\begin{eqnarray*}
\[
\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\left( -1\right) ^{k}a_{k}=b_{n}
\]
\end{eqnarray*}
eşitliğinde her iki tarafı $\frac{x^{n}}{n!}$ ile çarpıp $n$ üzerinden toplarsak:
\begin{eqnarray*}
\[
\sum_{n=0}^{\infty }\left( \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\left( -1\right)
^{k}a_{k}\right) \frac{x^{n}}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty }b_{n}\frac{x^{n}}{n!}
\]
\end{eqnarray*}
formal eşitliği elde edilir. Burada sol taraf, kuvvet serilerinin çarpımı göz önüne alınarak

\begin{eqnarray*}
\[
\left( \sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^{n}}{n!}\right) \left( \sum_{n=0}^{\infty
}\left( -1\right) ^{n}a_{n}\frac{x^{n}}{n!}\right) =\sum_{n=0}^{\infty }b_{n}%
\frac{x^{n}}{n!}
\]
\end{eqnarray*}
yazılabilir.
\begin{eqnarray*}
\[
\sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^{n}}{n!}=e^{x}
\]
\end{eqnarray*}
eşitliği yardımıyla
\begin{eqnarray*}
\[
\sum_{n=0}^{\infty }\left( -1\right) ^{n}a_{n}\frac{x^{n}}{n!}=e^{-x}\left(
\sum_{n=0}^{\infty }b_{n}\frac{x^{n}}{n!}\right)
\]
\end{eqnarray*}
 bulunur. Buradan
\begin{eqnarray*}
\sum_{n=0}^{\infty }\left( -1\right) ^{n}a_{n}\frac{x^{n}}{n!} &=&\left(
\sum_{n=0}^{\infty }\frac{\left( -1\right) ^{n}x^{n}}{n!}\right) \left(
\sum_{n=0}^{\infty }b_{n}\frac{x^{n}}{n!}\right)  \\
&=&\sum_{n=0}^{\infty }\left( \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\left( -1\right)
^{n-k}b_{k}\right) \frac{x^{n}}{n!}
\end{eqnarray*}

eşitliğinde karşılıklı katsayılar karşılaştırılarak istenilen elde edilir.

Comments

Burada da latex kodu dogru olmasina ragmen, dogru bicimde derlenmeme sorunu var cok muhtemelen. Bu sorunun kaynagini bulmaya calisiyorum. Biraz vakit alabilir.

---

Düzenlenmiş bicimi:

Bu eşitliği formal yöntemler yardımıyla gösterebiliriz: 

$$\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\left( -1\right)^{k}a_{k}=b_{n}$$

eşitliğinde her iki tarafı $\dfrac{x^{n}}{n!}$ ile çarpıp $n$ üzerinden toplarsak:

$$\sum_{n=0}^{\infty }\left( \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\left( -1\right)^{k}a_{k}\right) \frac{x^{n}}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty }b_{n}\frac{x^{n}}{n!}$$

formal eşitliği elde edilir. Burada sol taraf, kuvvet serilerinin çarpımı göz önüne alınarak

$$\left( \sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^{n}}{n!}\right) \left( \sum_{n=0}^{\infty}\left( -1\right)^{n}a_{n}\frac{x^{n}}{n!}\right) =\sum_{n=0}^{\infty }b_{n}\frac{x^{n}}{n!}$$

yazılabilir.

$$\sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^{n}}{n!}=e^{x}$$

eşitliği yardımıyla

$$\sum_{n=0}^{\infty }\left( -1\right) ^{n}a_{n}\frac{x^{n}}{n!}=e^{-x}\left(\sum_{n=0}^{\infty }b_{n}\frac{x^{n}}{n!}\right)$$

bulunur. Buradan

$$\sum_{n=0}^{\infty }\left( -1\right) ^{n}a_{n}\frac{x^{n}}{n!}=\left(\sum_{n=0}^{\infty }\frac{\left(-1\right) ^{n}x^{n}}{n!}\right) \left(\sum_{n=0}^{\infty }b_{n}\frac{x^{n}}{n!}\right) \\=\sum_{n=0}^{\infty }\left( \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\left( -1\right)^{n-k}b_{k}\right) \frac{x^{n}}{n!}$$

eşitliğinde karşılıklı katsayılar karşılaştırılarak istenilen elde edilir.