Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
2 beğenilme 0 beğenilmeme
496 kez görüntülendi

$(an)$ $\mathbb{R}$ de herhangi bir dizi olsun. Eğer $$ \sum\limits{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}ak=bn$$ ise $$ \sum\limits{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}bk=a_n $$ olduğunu gösteriniz

Lisans Matematik kategorisinde (57 puan) tarafından 
tarafından yeniden kategorilendirildi | 496 kez görüntülendi

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap
Bu eşitliği formal yöntemler yardımıyla gösterebiliriz:
\begin{eqnarray*}
\[
\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\left( -1\right) ^{k}a_{k}=b_{n}
\]
\end{eqnarray*}
eşitliğinde her iki tarafı $\frac{x^{n}}{n!}$ ile çarpıp $n$ üzerinden toplarsak:
\begin{eqnarray*}
\[
\sum_{n=0}^{\infty }\left( \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\left( -1\right)
^{k}a_{k}\right) \frac{x^{n}}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty }b_{n}\frac{x^{n}}{n!}
\]
\end{eqnarray*}
formal eşitliği elde edilir. Burada sol taraf, kuvvet serilerinin çarpımı göz önüne alınarak

\begin{eqnarray*}
\[
\left( \sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^{n}}{n!}\right) \left( \sum_{n=0}^{\infty
}\left( -1\right) ^{n}a_{n}\frac{x^{n}}{n!}\right) =\sum_{n=0}^{\infty }b_{n}%
\frac{x^{n}}{n!}
\]
\end{eqnarray*}
yazılabilir.
\begin{eqnarray*}
\[
\sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^{n}}{n!}=e^{x}
\]
\end{eqnarray*}
eşitliği yardımıyla
\begin{eqnarray*}
\[
\sum_{n=0}^{\infty }\left( -1\right) ^{n}a_{n}\frac{x^{n}}{n!}=e^{-x}\left(
\sum_{n=0}^{\infty }b_{n}\frac{x^{n}}{n!}\right)
\]
\end{eqnarray*}
 bulunur. Buradan
\begin{eqnarray*}
\sum_{n=0}^{\infty }\left( -1\right) ^{n}a_{n}\frac{x^{n}}{n!} &=&\left(
\sum_{n=0}^{\infty }\frac{\left( -1\right) ^{n}x^{n}}{n!}\right) \left(
\sum_{n=0}^{\infty }b_{n}\frac{x^{n}}{n!}\right)  \\
&=&\sum_{n=0}^{\infty }\left( \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\left( -1\right)
^{n-k}b_{k}\right) \frac{x^{n}}{n!}
\end{eqnarray*}

eşitliğinde karşılıklı katsayılar karşılaştırılarak istenilen elde edilir.
(210 puan) tarafından 
tarafından seçilmiş

Burada da latex kodu dogru olmasina ragmen, dogru bicimde derlenmeme sorunu var cok muhtemelen. Bu sorunun kaynagini bulmaya calisiyorum. Biraz vakit alabilir.

Düzenlenmiş bicimi:

Bu eşitliği formal yöntemler yardımıyla gösterebiliriz: 


$$\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\left( -1\right)^{k}a_{k}=b_{n}$$


eşitliğinde her iki tarafı $\dfrac{x^{n}}{n!}$ ile çarpıp $n$ üzerinden toplarsak:


$$\sum_{n=0}^{\infty }\left( \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\left( -1\right)^{k}a_{k}\right) \frac{x^{n}}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty }b_{n}\frac{x^{n}}{n!}$$


formal eşitliği elde edilir. Burada sol taraf, kuvvet serilerinin çarpımı göz önüne alınarak


$$\left( \sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^{n}}{n!}\right) \left( \sum_{n=0}^{\infty}\left( -1\right)^{n}a_{n}\frac{x^{n}}{n!}\right) =\sum_{n=0}^{\infty }b_{n}\frac{x^{n}}{n!}$$

yazılabilir.

$$\sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^{n}}{n!}=e^{x}$$


eşitliği yardımıyla

$$\sum_{n=0}^{\infty }\left( -1\right) ^{n}a_{n}\frac{x^{n}}{n!}=e^{-x}\left(\sum_{n=0}^{\infty }b_{n}\frac{x^{n}}{n!}\right)$$

bulunur. Buradan

$$\sum_{n=0}^{\infty }\left( -1\right) ^{n}a_{n}\frac{x^{n}}{n!}=\left(\sum_{n=0}^{\infty }\frac{\left(-1\right) ^{n}x^{n}}{n!}\right) \left(\sum_{n=0}^{\infty }b_{n}\frac{x^{n}}{n!}\right) \\=\sum_{n=0}^{\infty }\left( \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\left( -1\right)^{n-k}b_{k}\right) \frac{x^{n}}{n!}$$


eşitliğinde karşılıklı katsayılar karşılaştırılarak istenilen elde edilir.

20,246 soru
21,768 cevap
73,412 yorum
2,127,903 kullanıcı