Question

$(an)\mathbb{R}$de herhangi bir dizi olsun. Eğer$$ \sum\limits{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}ak=bn $$ise$$ \sum\limits{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}bk=a_n $$ olduğunu gösteriniz

Answer 1

Bu eşitliği formal yöntemler yardımıyla gösterebiliriz:
$$\begin{eqnarray*} \[ \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\left( -1\right) ^{k}a_{k}=b_{n} \] \end{eqnarray*}$$
eşitliğinde her iki tarafı $\frac{x^{n}}{n!}$ ile çarpıp $n$ üzerinden toplarsak:
$$\begin{eqnarray*} \[ \sum_{n=0}^{\infty }\left( \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\left( -1\right) ^{k}a_{k}\right) \frac{x^{n}}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty }b_{n}\frac{x^{n}}{n!} \] \end{eqnarray*}$$
formal eşitliği elde edilir. Burada sol taraf, kuvvet serilerinin çarpımı göz önüne alınarak

$$\begin{eqnarray*} \[ \left( \sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^{n}}{n!}\right) \left( \sum_{n=0}^{\infty }\left( -1\right) ^{n}a_{n}\frac{x^{n}}{n!}\right) =\sum_{n=0}^{\infty }b_{n}% \frac{x^{n}}{n!} \] \end{eqnarray*}$$
yazılabilir.
$$\begin{eqnarray*} \[ \sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^{n}}{n!}=e^{x} \] \end{eqnarray*}$$
eşitliği yardımıyla
$$\begin{eqnarray*} \[ \sum_{n=0}^{\infty }\left( -1\right) ^{n}a_{n}\frac{x^{n}}{n!}=e^{-x}\left( \sum_{n=0}^{\infty }b_{n}\frac{x^{n}}{n!}\right) \] \end{eqnarray*}$$
 bulunur. Buradan
$$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty }\left( -1\right) ^{n}a_{n}\frac{x^{n}}{n!} &=&\left( \sum_{n=0}^{\infty }\frac{\left( -1\right) ^{n}x^{n}}{n!}\right) \left( \sum_{n=0}^{\infty }b_{n}\frac{x^{n}}{n!}\right)  \\ &=&\sum_{n=0}^{\infty }\left( \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\left( -1\right) ^{n-k}b_{k}\right) \frac{x^{n}}{n!} \end{eqnarray*}$$

eşitliğinde karşılıklı katsayılar karşılaştırılarak istenilen elde edilir.

Comments

Burada da latex kodu dogru olmasina ragmen, dogru bicimde derlenmeme sorunu var cok muhtemelen. Bu sorunun kaynagini bulmaya calisiyorum. Biraz vakit alabilir.

---

Düzenlenmiş bicimi:

Bu eşitliği formal yöntemler yardımıyla gösterebiliriz: 

$$\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\left( -1\right)^{k}a_{k}=b_{n}$$

eşitliğinde her iki tarafı $\dfrac{x^{n}}{n!}$ ile çarpıp $n$ üzerinden toplarsak:

$$\sum_{n=0}^{\infty }\left( \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\left( -1\right)^{k}a_{k}\right) \frac{x^{n}}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty }b_{n}\frac{x^{n}}{n!}$$

formal eşitliği elde edilir. Burada sol taraf, kuvvet serilerinin çarpımı göz önüne alınarak

$$\left( \sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^{n}}{n!}\right) \left( \sum_{n=0}^{\infty}\left( -1\right)^{n}a_{n}\frac{x^{n}}{n!}\right) =\sum_{n=0}^{\infty }b_{n}\frac{x^{n}}{n!}$$

yazılabilir.

$$\sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^{n}}{n!}=e^{x}$$

eşitliği yardımıyla

$$\sum_{n=0}^{\infty }\left( -1\right) ^{n}a_{n}\frac{x^{n}}{n!}=e^{-x}\left(\sum_{n=0}^{\infty }b_{n}\frac{x^{n}}{n!}\right)$$

bulunur. Buradan

$$\sum_{n=0}^{\infty }\left( -1\right) ^{n}a_{n}\frac{x^{n}}{n!}=\left(\sum_{n=0}^{\infty }\frac{\left(-1\right) ^{n}x^{n}}{n!}\right) \left(\sum_{n=0}^{\infty }b_{n}\frac{x^{n}}{n!}\right) \\=\sum_{n=0}^{\infty }\left( \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\left( -1\right)^{n-k}b_{k}\right) \frac{x^{n}}{n!}$$

eşitliğinde karşılıklı katsayılar karşılaştırılarak istenilen elde edilir.