Limitin linear olmasi

Question

Limitin linear oldugunu farkettim de buraya soru olarak yazmak istedim.
Guzel bir vektor uzayinda (mesela surekli fonksyonlar vektor uzayi ) limitin linear bir operator gibi davrandiginin farkina vardim.
$L_a f:= \lim_{x\to a}f(x)$ dite tanimlarsak $L_a$ nin linear oldugunu gormek zor degil.
Ilgimi ceken noktalardan birisi $L_{\cdot}$ operatorunun carpimsal olmasi oldu (bildigim pek "carpmayi" koruyan linear operator yok keza iki vektorun carpimi her zaman mantikli degil)
bunun disinda $\|L\|$ var mi varsa ne ifade ediyor ve $L^T$ nasil gorunuyor gibi sorular gecti akilmdan

Iste bu da boyle bir animdir diye paylasmak istedim

Comments

Cisimler de vektör uzayı ve çarpmaya sahip.

---

evet var oyle bir durum, hatta cisim olmayan arkadaslari da ( GL(m,n) [S](U|O)(n)  ) carpiyoruz bilinear bilinear
olyormus demek boyle seyler.

burada $L_{a}$ lari kullanarak, $\mathbb{R} \cup \{\pm\infty\}$  yi insa edebiliyomus gibi hissettim ama yanildim sanirim

---

Surekli fonksiyonlar uzayinda $L_a(f)$ ile $f \mapsto f(a)$ fonksiyonu ayni fonksiyon. $f \mapsto f(a)$ fonksiyonu da butun fonksiyonlar uzayinda lineer bir fonksiyon. O yuzden sadece bu fonksiyonu surekli fonksiyonlar uzayina kisitlamis oluyorsun.

Bir $a \in \mathbb{R}$ secip, surekli fonksiyonlar uzayi yerine "$a$'da limiti olan fonksiyonlar uzayi"ni ($U_a$ diyelim) alabilirsin. Ve evet $U_a$ uzerinde $L_a$ lineer oluyor. Ama baska bir $b \neq a$ alirsan, $U_a$ uzerinde $L_b$ fonksiyonu tanimli bile degil. Cunku $a$'da limiti olup $b$'de limiti olmayan bir fonksiyon yazabilirim.

Bunlar ne demek bilmiyorum ama not dusmek istedim.

---

fonksyon degerlendirme operatoru ile $L_{\{\cdot\}}$ ayni operator mu ya gercekten? ne bileyim $L_{\infty}$, $L_{0^+}$ gibi seylerin tam karsiligi yok gibi.

---

"Sürekli fonksiyonlar uzayında" ama evet $a = \infty$ alıyorsan başka, o zaman sürekli fonksiyonlar uzayında da tanımlı değil.