Teorem: d1L∼d2⇔(∃λ≥1)(∀x,y∈X)(1λ⋅d1(x,y)≤d2(x,y)≤λ⋅d2(x,y)).
Öncelikle d1L∼d2 olduğunu gösterelim.
d1(x,y)=(∑nk=1(xk−yk)2)12=∑nk=1|xk−yk|⋅(∑nk=1(xk−yk)2)12∑nk=1|xk−yk|=∑nk=1|xk−yk|⋅(∑nk=1(xk−yk)2(∑nk=1|xk−yk|)2)12=∑nk=1|xk−yk|⋅((x1−y1)2+(x2−y2)2+…+(xn−yn)2(|x1−y1|+|x2−y2|+…+|xn−yn|)2)12≤∑nk=1|xk−yk|⋅(1+1+…+1)12=√n⋅∑nk=1|xk−yk|=√n⋅d2(x,y)
olduğundan 1√n⋅d1(x,y)≤d2(x,y)
koşulu sağlanır.
Şimdi Cauchy-Schwartz Eşitsizliğini kullanırsak
(n∑k=11⋅|xk−yk|)2≤(n∑k=112)⋅(n∑k=1|xk−yk|2) yazabiliriz. Buradan da
(n∑k=1|xk−yk|)2≤n⋅(n∑k=1(xk−yk)2)
yani
n∑k=1|xk−yk|≤√n⋅√n∑k=1(xk−yk)2
yani
d2(x,y)≤√n⋅d1(x,y)
elde edilir. Dolayısıyla tanımda geçen λ pozitif gerçel sayısı λ:=√n seçilirse her x,y∈Rn için
1√n⋅d1(x,y)≤d2(x,y)≤√n⋅d1(x,y) koşulu sağlanır. O halde (∃λ≥1)(∀x,y∈X)(1λ⋅d1(x,y)≤d2(x,y)≤λ⋅d2(x,y)) önermesi doğru yani d1L∼d2 olur.
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Tanım: d1L∼d2:⇔(∃λ,μ>0)(∀x,y∈X)(λd1(x,y)≤d2(x,y)≤μd1(x,y))
Şimdi de bu tanımı kullanarak d3L∼d1 olduğunu gösterelim.
d3(x,y)=max{|xk−yk|:k=1,2,…,n}≤√∑nk=1(xk−yk)2=d1(x,y)
olduğundan tanımda geçen λ sayısını λ=1 seçebiliriz. Ayrıca
d1(x,y)=√∑nk=1(xk−yk)2≤√∑nk=1(max{|xk−yk|:k=1,2,…,n})2=√n⋅(max{|xk−yk|:k=1,2,…,n})2=√n⋅max{|xk−yk|:k=1,2,…,n}=√n⋅d3(x,y)
olduğundan tanımda geçen μ sayısını μ:=√n seçebiliriz. Bu seçimler neticesinde
d3(x,y)≤d1(x,y)≤√n⋅d3(x,y) koşulu sağlanır yani (∃λ,μ>0)(∀x,y∈X)(λd1(x,y)≤d2(x,y)≤μd1(x,y)) önermesi doğru yani d3L∼d1 olur.
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Ayrıca Lipschitz denk olma ilişkisi bir denklik bağıntısı olduğundan d1L∼d2L∼d3 olur.