Processing math: 29%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
342 kez görüntülendi
X=[0,) kümesi üzerinde tanımlı d1(x,y):=|xy| ve d2(x,y):=|11+x211+y2| metrikleri düzgün denk midir? Yanıtınızı kanıtlayınız.
Lisans Matematik kategorisinde (11.5k puan) tarafından  | 342 kez görüntülendi

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

Tanım: (X,d1) ve (X,d2) metrik uzaylar olmak üzere

d1Dd2

:⇔

(ϵ>0)(δ1,δ2>0)(x,yX)[(d1(x,y)<δ1d2(x,y)<ϵ)(d2(x,y)<δ2d1(x,y)<ϵ)]

d1

:\Leftrightarrow

(\exists\epsilon>0)(\forall\delta_1,\delta_2>0)(\exists x,y\in X)[(d_1(x,y)<\delta_1\wedge d_2(x,y)\geq\epsilon)\vee (d_2(x,y)<\delta_2\wedge d_1(x,y)\geq\epsilon)]\ldots (\star)

--------------------------------------

 

\epsilon=\frac{3}{2} olmak üzere her \delta>0 için x:=\delta\in [0,\infty), y:=\frac{\delta}{2} \in  [0,\infty) alınırsa;

d_1(x,y):=|x-y|=|\delta-\frac{\delta}{2}|=\frac{\delta}{2}<\delta ve

d_2(x,y):=\left|\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+y^2}\right|=\left|\frac{x^2-y^2}{(1+x^2)(1+y^2)}\right|< \left|\frac{x^2-y^2}{4xy}\right|<\left|\frac{x^2-y^2}{xy}\right|=\left|\frac{\delta^2-\left(\frac{\delta}{2}\right)^2}{\delta \cdot \frac{\delta}{2}}\right|=\frac{3}{2}\geq \frac{3}{2} =\epsilon

koşulları sağlanır. O halde (\star) önermesi doğru yani d_1 ve d_2 metrikleri düzgün denk değildir.

 

 

(43 puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
Her x,y\in [0,\infty) için 4xy<(1+x^2)(1+y^2) oluyor mu?
x,y\in [0,\infty);

(x-1)^2>0 ve (y-1)^2>0

x^2+1>2x ve y^2+1>2y olduğundan

4xy<(x^2+1)(y^2+1) olur.
Eşit olma durumu da var, değil mi?

Her x,y\in [0,\infty) için (x-1)^2\geq 0 ve (y-1)^2\geq 0 olmalı.
Evet hocam gözden kaçırmışım.
20,291 soru
21,832 cevap
73,524 yorum
2,656,313 kullanıcı