Tanım: (X,d1) ve (X,d2) metrik uzaylar olmak üzere
d1D∼d2
:⇔
(∀ϵ>0)(∃δ1,δ2>0)(∀x,y∈X)[(d1(x,y)<δ1⇒d2(x,y)<ϵ)∧(d2(x,y)<δ2⇒d1(x,y)<ϵ)]
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
d1≁
:\Leftrightarrow
(\exists\epsilon>0)(\forall\delta_1,\delta_2>0)(\exists x,y\in X)[(d_1(x,y)<\delta_1\wedge d_2(x,y)\geq\epsilon)\vee (d_2(x,y)<\delta_2\wedge d_1(x,y)\geq\epsilon)]\ldots (\star)
--------------------------------------
\epsilon=\frac{3}{2} olmak üzere her \delta>0 için x:=\delta\in [0,\infty), y:=\frac{\delta}{2} \in [0,\infty) alınırsa;
d_1(x,y):=|x-y|=|\delta-\frac{\delta}{2}|=\frac{\delta}{2}<\delta ve
d_2(x,y):=\left|\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+y^2}\right|=\left|\frac{x^2-y^2}{(1+x^2)(1+y^2)}\right|< \left|\frac{x^2-y^2}{4xy}\right|<\left|\frac{x^2-y^2}{xy}\right|=\left|\frac{\delta^2-\left(\frac{\delta}{2}\right)^2}{\delta \cdot \frac{\delta}{2}}\right|=\frac{3}{2}\geq \frac{3}{2} =\epsilon
koşulları sağlanır. O halde (\star) önermesi doğru yani d_1 ve d_2 metrikleri düzgün denk değildir.