(a,b∈Z iken)
3(a2+a+2)=b3−1⟹3∣b3−1
b3−1=(b−1)(b2+b+1) dir.
b≡0mod3 ise b−1≡2mod3 ve b2+b+1≡1mod3 olur. (3 asal sayı olduğundan) 3∤b3−1 olur.
b≡2mod3 ise b−1≡1mod3 ve b2+b+1≡1mod3 olur. (3 asal sayı olduğundan) 3∤b3−1 olur.
olur. Öyleyse b≡1mod3 olmalıdır.
b=3n+1(n∈Z) olsun.
3a2+3a+7=27n3+27n2+9n+1 olur. Sadeleşme sonunda:
a2+a+2=9n3+9n2+3n=3(3n2+3n+1) olur.
Buradan 3∣a2+a+2 elde ederiz. Ama :
a≡0mod3⟹a2+a+2≡2mod3
a≡1mod3⟹a2+a+2≡1mod3
a≡2mod3⟹a2+a+2≡2mod3
olduğundan, 3∣a2+a+2 olması imkansızdır.
Bu eşitliği sağlayan tamsayı ikilisi yoktur.