Question

$3^x+4^x+5^x=x^2$ denkleminin kaç tane reel çözümü vardır?

Soruyu grafik çizmeden çözemedim. Nasıl çözmeliyim?

Comments

Bolzano teoremini düşün. $f(x)=3^x+4^x+5^x-x^2$  kuralı ile verilen $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ fonsiyonunu ele alalım.

$f(-1)<0,$  $f\left(-\frac{1}{2}\right)>0$  ve   $f$ fonksiyonu $\left[-1,-\frac{1}{2}\right]$ aralığında sürekli olduğundan $3^x+4^x+5^x=x^2$ denkleminin $\left[-1,-\frac{1}{2}\right]$ aralığında bir gerçel kökü vardır.

 

Her $x\in (-\infty,-1)$ için $f(x)<0$ olduğundan $3^x+4^x+5^x=x^2$ denkleminin $(-\infty,-1)$ aralığında bir gerçel kökü yoktur.

 

Her $x\in \left(-\frac{1}{2},\infty\right)$ için $f(x)>0$ olduğundan $3^x+4^x+5^x=x^2$ denkleminin $\left(-\frac{1}{2},\infty\right)$ aralığında da bir gerçel kökü yoktur.

Answer 1

Şunu söylemek aslında yeterli olacak.

Her $x\in\mathbb{R}$ için $f'(x)>0$ olduğundan $f$ fonksiyonu $\mathbb{R}$'de kesin artandır. Ayrıca $f$ fonksiyonu $\mathbb{R}$'de sürekli olduğundan $x$-eksenini sadece bir noktada keser. Dolayısıyla söz konusu denklemin sadece bir tane gerçel kökü vardır. O da yorumda da belirttiğim gibi $[-1,-\frac{1}{2}]$ aralığındadır.

Comments

Çok teşekkür ederim hocam.