Boole cebiri olduğunu gösteriniz.

Question

$(X,\tau)$ topolojik uzay ve $RO(X):=\{A\subseteq X| A, \text{ regüler açık}\}=\{A\subseteq X| A=int(cl(A))\}$ olsun.

$A\wedge B:=A\cap B$  

$A\vee B:=\overline{A\cup B}^{\circ}=int(cl(A\cup B))$  

$A^{\perp}:=\overline{(\setminus A)}^{\circ}=int(cl(\setminus A))$  

$0:=\emptyset$  

$1:=X$  

şeklinde ele alındığında $(RO(X),\wedge,\vee,\perp,0,1)$  altılısının bir Boole cebiri olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$\mathbf{BC_1)}$ $A\subseteq X$ olsun.

$A\wedge A=A\cap A=A$

ve

$A\vee A=int(cl(A\cup A))=int(cl(A))=A.$

 

$\mathbf{BC_2)}$ $A,B\subseteq X$ olsun.

$A\wedge B=A\cap B=B\cap A=B\wedge A$

ve

$A\vee B=int(cl(A\cup B))=int(cl(B\cup A))=B\vee A.$

 

$\mathbf{BC_3)}$ $A,B,C\subseteq X$ olsun.

$\begin{array}{rcl} A\wedge (B\wedge C) & = & A\cap (B\cap C) \\ & = & (A\cap B)\cap C \\ & = & (A\wedge B)\wedge C\end{array}$

ve

$\begin{array}{rcl} A\vee (B\vee C) & = & int(cl(A\cup [int(cl(B\cup C))])) \\ & = & \ldots\end{array}$

 

$\mathbf{BC_4)}$ $A,B\subseteq X$ olsun.

$\begin{array}{rcl} (A\wedge B)\vee A & = & int(cl[(A\cap B)\cup A]) \\ & = & int(cl(A)) \\ & = & A\end{array}$

ve

$\begin{array}{rcl} (A\vee B)\wedge A & = & int(cl(A\cup B))\cap A \\ & = & int(cl(A\cup B))\cap int(cl(A)) \\ & = & int(cl[(A\cup B)\cap A]) \\ & = & int(cl(A)) \\ & = &A.\end{array}$

 

$\mathbf{BC_5)}$ $A,B,C\subseteq X$ olsun.

 

$\mathbf{BC_6)}$ $A\subseteq X$ olsun.

$\emptyset \vee A=int(cl(\emptyset\cup A))=int(cl(A))=A,$

$\emptyset \wedge A= \emptyset\cap A=\emptyset,$

$X\vee A=int(cl(X\cup A))=int(cl(X))=int(X)=X,$

$X\wedge A=X\cap A=A.$
 

$\mathbf{BC_7)}$ Her $A\subseteq X$ için $A^{\perp}:=int(cl(\setminus A))$ seçilirse

$\begin{array}{rcl} A\wedge A^{\perp} & = & A\cap int(cl(\setminus A)) \\ & = & int(cl(A))\cap int(cl(\setminus A))\\ & = & int(cl(A\cap (\setminus A))) \\ & = & int(cl(\emptyset)) \\ & = & int(\emptyset) \\ & = & \emptyset \end{array}$

ve 

$\begin{array}{rcl} A\vee A^{\perp} & = & int(cl(A\cup A^{\perp})) \\ & = & \ldots \\ & = & X \end{array}$

olur. Ayrıntılar bu linkte.

Comments

Yanıtı peyder pey güncelleyeceğim.