Question

$(X,+,\cdot),$  karakteristiği $2$ olan değişmeli birimli bir halka ve $Y=\{x\in X|x^2=x\}$ olsun. $(Y,+,\cdot)$ üçlüsünün bir Boole halkası olduğunu gösteriniz.

 

Not: Tüm elemanları idempotent olan birimli bir halkaya Boole halkası deniyor.

Answer 1

$x,y\in Y$ olsun.

$x,y\in Y\Rightarrow (xy)^2=(xy)(xy)=xyxy=xxyy=x^2y^2=xy\Rightarrow xy\in Y.$

$1_X\in X\Rightarrow (1_X)^2=1_X\cdot 1_X=1_X\Rightarrow 1_X\in Y.$

$\left.\begin{array}{rr}y\in X \\ Kar(X)=2 \end{array}\right\} \Rightarrow 2y=0\Rightarrow y+y=0\Rightarrow y=-y\ldots (1)$
$$\begin{array}{rcl}(x-y)^2&=&x^2-xy-yx+(-y)^2 \\ &=& x-xy-xy+y \\ &=& x-2xy+y \\ &=&x+y\ldots (2) \end{array}$$ $(1),(2)\Rightarrow (x-y)^2=x-y$

Dolayısıyla $x-y\in Y$ olur.

O halde $(Y,+,\cdot)$ üçlüsü, $(X,+,\cdot)$ halkasının bir althalkasıdır. $(Y,+,\cdot)$ halkası, tüm elemanları idempotent ve birimli bir halka olduğundan bir Boole halkasıdır.