x,y∈Y olsun.
x,y∈Y⇒(xy)2=(xy)(xy)=xyxy=xxyy=x2y2=xy⇒xy∈Y.
1X∈X⇒(1X)2=1X⋅1X=1X⇒1X∈Y.
y∈XKar(X)=2}⇒2y=0⇒y+y=0⇒y=−y…(1)
(x−y)2=x2−xy−yx+(−y)2=x−xy−xy+y=x−2xy+y=x+y…(2) (1),(2)⇒(x−y)2=x−y
Dolayısıyla x−y∈Y olur.
O halde (Y,+,⋅) üçlüsü, (X,+,⋅) halkasının bir althalkasıdır. (Y,+,⋅) halkası, tüm elemanları idempotent ve birimli bir halka olduğundan bir Boole halkasıdır.