Question

$\displaystyle\int_0^{\infty}\frac{x^4}{(x^4-x^2+1)^4}dx=?$

Comments

$x^4 - x^2 + 1 = (x^4 + 2x^2 + 1) - 3x^2 = (x^2+ \sqrt{3}x + 1)(x^2 - \sqrt{3}x + 1)$ diye klasik bir yöntemle devam edersek işlem kalabalığı çok fazla olacktır. Kompleks integrasyon, rezidü teoremleri, Cauchy integral formülü vb kavramlar daha iyi iş görecektir diye düşünüyorum.

Answer 1

$$\begin{array}{rcl} I & = & \displaystyle\int_{0}^{\infty}\frac{x^4}{(x^4-x^2+1)^4}dx \\ \\ & = &\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{x^4}{(x^4-x^2+1)^4}dx+\underset{x\to \frac1x}{\underbrace{\displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{x^4}{(x^4-x^2+1)^4}dx}} \\ \\ & = & \displaystyle\int_{0}^{1}\frac{x^4}{(x^4-x^2+1)^4}dx+\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{x^{10}}{(x^4-x^2+1)^4}dx \\ \\ & = & \displaystyle\int_{0}^{1}\frac{x^4\cdot (x^6+1)}{(x^4-x^2+1)^4}dx \\ \\ & = & \displaystyle\int_{0}^{1}\frac{x^4\cdot (x^2+1)\cdot(x^4-x^2+1)}{(x^4-x^2+1)^4}dx \\ \\ & = & \displaystyle\int_{0}^{1}\frac{x^4\cdot (x^2+1)}{(x^4-x^2+1)^3}dx \\ \\ & = & \displaystyle\int_{0}^{1}\frac{x^6\cdot \left(1+\frac{1}{x^2}\right)}{x^6\cdot \left(x^2-1+\frac{1}{x^2}\right)^3}dx \\ \\ & = & \underset{x-\frac1x\to \tan y}{\underbrace{\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{d\left(x-\frac{1}{x}\right)}{\left[\left(x-\frac1x\right)^2+1\right]^3}}} \\ \\ & = & \displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0}\frac{\sec^2y}{\left[\tan^2y+1\right]^3}dy \\ \\ & = & \displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0}\cos^4y\cdot dy \\ \\ & = & \frac14\cdot\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0}(1+\cos 2y)^2\cdot dy \\ \\ & = & \ldots \\ \\ & = & \frac{3\pi}{16}\end{array}$$

Comments

Müthiş bir çözüm! Aydınlanma yaşadım.

Answer 2

Lokman Gökçe'nin belirttiği gibi rezidü kullanarak çözülebiliyor. Şimdilik kısa bir çözüm yapalım:

$x$ değişkeni yerine $z$ yazarak düzleme geçelim. Verilen integrant

$f(z)=\dfrac{z^4}{(z^4-z^2+1)^4}$  olsun. İntegralin yakınsak olduğunu göstermeliyiz ama şu an bunu atlayalım.

$(z^4-z^2+1)^4=0$  denkleminin reel eksen üzerinde (üst yarı düzlem) kalan kökleri  $\frac{\sqrt{3}+i}{2}$ ve $\frac{-\sqrt{3}+i}{2}$ olup $n=4.$ dereceden kutup noktasına sahip olduğundan bu noktalardaki rezidüleri hesaplamak için $$\lim_{z\to z_0}\frac{1}{(n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}[(z-z_0)^nf(z)]$$  formülünü kullanabiliriz. Bulduğumuz rezidülerin toplamı istenen integralin değerini verecektir. Ancak bu formül ile işlem yapmak zor olduğundan (ya da ben işin içinden çıkamadığımdan) bu noktalardaki rezidüler Wolframalpha ile  hesap ederek $\frac{\sqrt{3}}{648}\pm\frac{3i}{32}$, $-\frac{\sqrt{3}}{648}\pm\frac{3i}{32}$ ve toplamları da $\frac{3i}{16}$  olarak bulunur.

Sonuç olarak $f$ çift fonksiyon olduğundan,

$$\begin{align*}\int \limits _0^\infty \frac{z^4}{(z^4-z^2+1)^4}\,dz & =\frac{1}{2}\int \limits _{-\infty}^\infty \frac{z^4}{(z^4-z^2+1)^4}\,dz \\=\frac{1}{2}\cdot2\pi i\sum_{z_0} \text{Res}(f;z_0) & =\pi i\left (\frac{3i}{16}\right ) \\ & =\frac{3\pi}{16} \end{align*}$$

bulunur.