Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
493 kez görüntülendi
0x4(x4x2+1)4dx=?
Lisans Matematik kategorisinde (11.5k puan) tarafından  | 493 kez görüntülendi
x4x2+1=(x4+2x2+1)3x2=(x2+3x+1)(x23x+1) diye klasik bir yöntemle devam edersek işlem kalabalığı çok fazla olacktır. Kompleks integrasyon, rezidü teoremleri, Cauchy integral formülü vb kavramlar daha iyi iş görecektir diye düşünüyorum.

2 Cevaplar

2 beğenilme 0 beğenilmeme
I=0x4(x4x2+1)4dx=10x4(x4x2+1)4dx+1x4(x4x2+1)4dxx1x=10x4(x4x2+1)4dx+10x10(x4x2+1)4dx=10x4(x6+1)(x4x2+1)4dx=10x4(x2+1)(x4x2+1)(x4x2+1)4dx=10x4(x2+1)(x4x2+1)3dx=10x6(1+1x2)x6(x21+1x2)3dx=10d(x1x)[(x1x)2+1]3x1xtany=0π2sec2y[tan2y+1]3dy=0π2cos4ydy=140π2(1+cos2y)2dy==3π16
(11.5k puan) tarafından 
Müthiş bir çözüm! Aydınlanma yaşadım.
1 beğenilme 0 beğenilmeme
Lokman Gökçe'nin belirttiği gibi rezidü kullanarak çözülebiliyor. Şimdilik kısa bir çözüm yapalım:

x değişkeni yerine z yazarak düzleme geçelim. Verilen integrant

f(z)=z4(z4z2+1)4  olsun. İntegralin yakınsak olduğunu göstermeliyiz ama şu an bunu atlayalım.

(z4z2+1)4=0  denkleminin reel eksen üzerinde (üst yarı düzlem) kalan kökleri  3+i2 ve 3+i2 olup n=4. dereceden kutup noktasına sahip olduğundan bu noktalardaki rezidüleri hesaplamak için limzz01(n1)!dn1dzn1[(zz0)nf(z)]  formülünü kullanabiliriz. Bulduğumuz rezidülerin toplamı istenen integralin değerini verecektir. Ancak bu formül ile işlem yapmak zor olduğundan (ya da ben işin içinden çıkamadığımdan) bu noktalardaki rezidüler Wolframalpha ile  hesap ederek 3648±3i32, 3648±3i32 ve toplamları da 3i16  olarak bulunur.

Sonuç olarak f çift fonksiyon olduğundan,

0z4(z4z2+1)4dz=12z4(z4z2+1)4dz=122πiz0Res(f;z0)=πi(3i16)=3π16

bulunur.
(3.4k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,315 soru
21,871 cevap
73,591 yorum
2,884,954 kullanıcı