Lokman Gökçe'nin belirttiği gibi rezidü kullanarak çözülebiliyor. Şimdilik kısa bir çözüm yapalım:
x değişkeni yerine z yazarak düzleme geçelim. Verilen integrant
f(z)=z4(z4−z2+1)4 olsun. İntegralin yakınsak olduğunu göstermeliyiz ama şu an bunu atlayalım.
(z4−z2+1)4=0 denkleminin reel eksen üzerinde (üst yarı düzlem) kalan kökleri √3+i2 ve −√3+i2 olup n=4. dereceden kutup noktasına sahip olduğundan bu noktalardaki rezidüleri hesaplamak için limz→z01(n−1)!dn−1dzn−1[(z−z0)nf(z)] formülünü kullanabiliriz. Bulduğumuz rezidülerin toplamı istenen integralin değerini verecektir. Ancak bu formül ile işlem yapmak zor olduğundan (ya da ben işin içinden çıkamadığımdan) bu noktalardaki rezidüler Wolframalpha ile hesap ederek √3648±3i32, −√3648±3i32 ve toplamları da 3i16 olarak bulunur.
Sonuç olarak f çift fonksiyon olduğundan,
∞∫0z4(z4−z2+1)4dz=12∞∫−∞z4(z4−z2+1)4dz=12⋅2πi∑z0Res(f;z0)=πi(3i16)=3π16
bulunur.