$(x+1)^{\frac1{x+1}}\leq x^{\frac1x}$ kanıtlayınız

Question

$x\ge e$ için   $$(x+1)^{\frac1{x+1}}\leq x^{\frac1x}$$ eşitsizliğini kanıtlayınız.

Answer 1

$f:\left[ e,\infty \right)\to \mathbb{R},  f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$  fonksiyonunu tanımlayalım.

${f}'(x)=\dfrac{1-\ln x}{{{x}^{2}}}\le 0$  olduğundan fonksiyon verilen tanım kümesinde azalandır yani $f(x+1)\le f(x)$ yazılabilir.

Dolayısıyla   $$e^{\frac{\ln x}{x}}\ge e^{\frac{\ln (x+1)}{x+1}}\Leftrightarrow x^{1/x}\ge (x+1)^{1/(x+1)}$$ olmalıdır.

Comments

$x$ doğal sayı olarak verillseydi  ${{\left( 1+\frac{1}{x} \right)}^{x}}<3\le x$  eşitsizliğinden dolayı

 ${{(x+1)}^{x}}<{{x}^{x+1}}\Leftrightarrow {{(x+1)}^{\frac{1}{x+1}}}<{{x}^{\frac{1}{x}}}$ yazabilirdik.