Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
115 kez görüntülendi
$x\ge e$ için  $$(x+1)^{\frac1{x+1}}\leq x^{\frac1x}$$ eşitsizliğini kanıtlayınız.
Lisans Matematik kategorisinde (2.9k puan) tarafından  | 115 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
$f:\left[ e,\infty \right)\to \mathbb{R},  f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$  fonksiyonunu tanımlayalım.

${f}'(x)=\dfrac{1-\ln x}{{{x}^{2}}}\le 0$  olduğundan fonksiyon verilen tanım kümesinde azalandır yani $f(x+1)\le f(x)$ yazılabilir.

Dolayısıyla  $$e^{\frac{\ln x}{x}}\ge e^{\frac{\ln (x+1)}{x+1}}\Leftrightarrow x^{1/x}\ge (x+1)^{1/(x+1)}$$ olmalıdır.
(2.9k puan) tarafından 
$x$ doğal sayı olarak verillseydi  ${{\left( 1+\frac{1}{x} \right)}^{x}}<3\le x$  eşitsizliğinden dolayı

 ${{(x+1)}^{x}}<{{x}^{x+1}}\Leftrightarrow {{(x+1)}^{\frac{1}{x+1}}}<{{x}^{\frac{1}{x}}}$ yazabilirdik.
20,247 soru
21,774 cevap
73,415 yorum
2,138,607 kullanıcı