$x^7+x^5+x^3+x+1=0$ denkleminin tek bir köke sahip olduğunu kanıtlayınız.

Question

Merhabalar,

x^7+x^5+x^3+x+1=0 denkleminin yalnızca tek bir çözüme sahip olduğunun kanıtlanması istenmiş soruda. Bir çözüm bulamadım ne yazık ki, bazı yabancı kaynaklar x^7+x^5+x^3+1=0 çözümünü ispatlamış Rolle Teoremini kullanarak lakin ben bu soruda uygulayamadım.

Şimdiden teşekkürler.

Answer 1

Turevi her zaman pozitif yani fonksiyon artan. Bu nedenle en fazla bir koku olabilir. Ara deger teoremi ile bir deger oldugunu gosterebilirsin.

Comments

Teşekkürler,

Lakin daha açık şekilde yazar mısınız. Rolle ile bulacağım ara değer bu fonksiyonun tek kökünü ispatlamakta ne işime yarayacak. Belirli bir sınırlandırma yok [-1, 0] noktasını keyfi alıyorum.

---

Neresini daha acik sekilde yazayim? [-1,0] araligi diyecektin galiba nokta yerine? evet keyfi olarak secebilirsin.

Ek olarak derecesi tek olan bir polinomun en az bir reel koku vardir. Cunku karmasik kokun eslenigi de kok olmali. Eger hepsi karmasik olsa derede ikinin kati olmaliydi, fakat derece tek. Bu da en az bir koku oldugunu verir. 

Fakat cozumu analiz yontemleriyle istiyorsun zannimca, bu nedenle ara deger teoremini verdigin aralikta kullanman yeter.

Answer 2

Şöyle bir çözüm düşündüm, sanırım aynı şeyden bahsediyor olacağız.

x^7+x^5+x^3+x+1=0  denklemi için alacağımız her hangi bir x1 ve x2 değeri 0'a eşit olacaktır. Bu durumda Rolle teoremi bize bu durum mümkün olabilirse aralarında f(c)'=0 olacak bir nokta olacağını söyler. fakat mevcut denklemin türevini aldığımızda karşımıza 7x^6 + 5x^4 + 3x^2 + 1 denklemi çıkar ki bu durumda x'li terimlerin toplamının reel sayılarda -1 çıkması mümkün olmayacağı için sonucumuz 0 çıkmayacaktır. Bu nedenle bu denklemin 2 kökü olmadığını söyleyebiliriz.