Question

Rolle teoremini kullanalım, $y=f(x)=x^3+3x+1=0$  Denkleminin tam olarak bir reel kökünün var olduğunu gösterin.

Answer 1

Orta deger Teoremi ile $-1$ ile $0$ arasinda (en az) bir kok vardir.  Bu aralikta ki bir koke $c_1$ diyelim. Baska koklerin olabilecegine varsayalim, bu kumeden bir elemana da $c_2$ diyelim. ($c_1\ne c_2$). Bu durumda Rolle teoremi geregi $f^\prime(c)=0$ sartini saglayan bir $c \in (c_1,c_2)$ olmali. Bu durumda $$0=f^\prime(c)=3c^2+3 \ge 3$$ celiski getirir. Demek ki bir adet kok varmis.

Comments

teşekkürler.

Answer 2

Burada rolle derken , rollenın kullanılmadıgı çünki hep artan bir fonksiyonla karşı karşıyayız ona dem vurmak için dedim.

$y=x^3+3x+1$

$y'=3x^2+3$ oldugundan 

$\triangle_{y'}<0$  olur ve bunun anlamı şudur,

$-\infty \to x \to \infty$  olurken $f(x)$ her zaman artıyormuş, $f$ fonksiyonu görüldüğü üzre sabit bir fonksiyon olmadığından bir kere ve biricik olarak $x$ eksenini keser, bu da ispatlamak istediğimiz şeydir.$\Box$

Comments

Rolle kullanilarak celiski yakalanmali bence. Madem Rolle kullanilarak denmis...