Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
156 kez görüntülendi
Türev kullanmadan $\lim\limits_{x\to \infty}x^{\frac1x}=1$ olduğunu gösteriniz.
Lisans Matematik kategorisinde (2.9k puan) tarafından 
tarafından yeniden etikenlendirildi | 156 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Önce şu çözümü paylaşayım:

$n$ pozitif bir tamsayı olmak üzere $n\le x\le n+1$ olsun.

 $\lim\limits_{n\to \infty}n^{\frac1n}=1$ (Kanıt burada)  ve  $n^{\frac1n}\ge 1$  olduğundan

 $n\ge 3$  için

$(n+1)^{\frac{1}{n+1}}\le x^{\frac1x}\le n^{\frac1n}$ yazılabilir (Kanıt burada). Limite geçilirse

 

$\lim\limits_{n\to \infty}(n+1)^{\frac{1}{n+1}}\le \lim\limits_{x\to \infty}x^{\frac1x}\le \lim\limits_{n\to \infty}n^{\frac1n}$  $$1\le \lim\limits_{x\to \infty}x^{\frac1x}\le 1 $$  olup  $$\lim\limits_{x\to \infty}x^{\frac1x}=1$$  olmalıdır.

(2.9k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,247 soru
21,774 cevap
73,415 yorum
2,138,056 kullanıcı