Önce şu çözümü paylaşayım: $n$ pozitif bir tamsayı olmak üzere $n\le x\le n+1$ olsun. $\lim\limits_{n\to \infty}n^{\frac1n}=1$ (Kanıt burada) ve $n^{\frac1n}\ge 1$ olduğundan $n\ge 3$ için $(n+1)^{\frac{1}{n+1}}\le x^{\frac1x}\le n^{\frac1n}$ yazılabilir (Kanıt burada). Limite geçilirse $\lim\limits_{n\to \infty}(n+1)^{\frac{1}{n+1}}\le \lim\limits_{x\to \infty}x^{\frac1x}\le \lim\limits_{n\to \infty}n^{\frac1n}$ $$1\le \lim\limits_{x\to \infty}x^{\frac1x}\le 1 $$ olup $$\lim\limits_{x\to \infty}x^{\frac1x}=1$$ olmalıdır.