$|x|=y$ fonksiyon grafiğinin $1-$boyutlu smooth(türevlenebilir) bir manifold olduğunu ancak $\mathbb R^2$'nin en fazla $C^0$ klass bir altmanifoldu olduğunu gösteriniz.

Question

Soru çeşitliliği, ve siteye giren etkileşimde bulunmak isteyen insanlar için atıyorum. Güzel cevapların geleceğine inanıyorum.

Answer 1

Kısa bir yanıt vermek istersek şöyle diyebliriz:

$y=|x|$ eğrisinin bir smooth manifold olduğunu göstermek için topolojik manifold (Öklid uzayına lokal olarak homeomorfik olan Hausdorff uzay) olduğunu ve smooth bir yapıda olduğunu göstermek gerekir. Bunun için $y=|x|$ eğrisinin kolları olan $y=x(x>0)$  ve  $y=-x(x<0)$ smooth eğrilerinin her birinin $\mathbb R$ nin bir açık aralığına homeomorf olduğu kolayca gösterilebilir.  Yani $y=|x|$ grafiği reel sayı doğrusuna homeomorftur.

$f : \mathbb R \rightarrow \mathbb R$  tek değişkenli smooth fonksiyonların grafiklerinin  $\mathbb R^2$ nin  1-boyutlu smooth alt manifoldları olduğunu biliyoruz. Fakat $f(x)=|x|$ fonksiyonu $(0,0)$ noktasında bir tanjant uzaya sahip olmadığından  smooth değildir ve dolayısıyla $y=|x|$ grafiği $\mathbb R^2$ nin en fazla $C^0$ sınıfından (sürekli) bir alt manifoldudur.

Comments

aslında smooth yapıyı direkt olarak projeksiyondan$\pi : \{ y=|x| \} \to \mathbb R$ çekebiliriz. 2 parçaya gerek yok sanırım.