Tanım:
$(x_n)_n$ bir dizi olsun. Eğer her $\epsilon>0$ için,
$$|x_n-x_m|<\epsilon$$ eşitsizliğinin her $n,m>N$ için sağlandığı bir $N$ göstergeçi varsa, $(x_n)_n$ dizisine Cauchy dizisi denir.
Sabit bir $\epsilon\gt 0$ ve $m\gt n$ için $$|x_m-x_n|=|\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{m}|=|\dfrac{m-n}{mn}|\lt \epsilon$$ yazalım.
$m-n\lt m$ olduğundan $$|\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{m}|=|\dfrac{m-n}{mn}|\lt \dfrac{m}{mn}=\dfrac{1}{n}$$ yazabiliriz.
$N=1+\lfloor\dfrac{1}{\epsilon}\rfloor$ seçersek $N\gt \dfrac{1}{\epsilon}$ olur ve $\dfrac{1}{m}\lt\dfrac{1}{n}\lt\dfrac{1}{N}$ eşitsizliği yani $m,n\gt N$ sağlanır.
Dolayısıyla $(\dfrac{1}{n})$ dizisi bir Cauchy dizisi olur.