Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
159 kez görüntülendi
Her büzüşen dizinin bir Cauchy dizisi olduğunu gösteriniz.
Lisans Matematik kategorisinde (11.4k puan) tarafından  | 159 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Tanım: $(x_n)\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ yani $(x_n)$ bir gerçel sayı dizisi olsun.

$(x_n), \text{ büzüşen dizi}:\Leftrightarrow (\exists c\in (0,1))(\forall n\in\mathbb{N})(|x_{n+2}-x_{n+1}|\leq c\cdot |x_{n+1}-x_n|)$

 

Büzüşen dizi tanımından bir $k$ göstergeci için $$|x_{k+1}-x_k|\le c|x_k-x_{k-1}|$$ ve $$|x_k-x_{k-1}|\le c|x_{k-1}-x_{k-2}|$$ eşitsizliklerini birlikte düşünerek $$|x_{k+1}-x_k|\le c^2|x_{k-1}-x_{k-2}|$$ yazılabilir. Benzer olarak devam edilirse tümevarımla $$|x_{k+1}-x_k|\le c^t|x_{k-t+1}-x_{k-t}|$$ olduğu görülebilir. $t=k$ yazılarak $$|x_{k+1}-x_k|\le c^k |x_1-x_0|=c^ka$$ olur.

$n\gt m$ olmak üzere elde ettiğimiz bu eşitsizlik ve üçgen eşitsizliği kullanılarak $$|x_n-x_m|=|x_n-x_{n-1}+x_{n-1}-x_{n-2}+...+x_{m+1}-x_m|$$  $$|x_n-x_m|\le |x_n-x_{n-1}|+|x_{n-1}-x_{n-2}|+...+|x_{m+1}-x_m|$$  $$|x_n-x_m|\le c^{n-1}a+c^{n-2}a+...+c^ma=ac^m(c^{n-m-1}+...+1)=ac^m\dfrac{1-c^{n-m}}{1-c}\le \dfrac{ac^m}{1-c}$$   $$|x_n-x_m|\le \dfrac{ac^m}{1-c}$$  elde edilir. $$\epsilon\ge \dfrac{ac^m}{1-c}$$   olacak şekilde seçersek $c^m$  dizisi $0$  a yakınsadığından öyle bir $N$ bulabiliriz ki $m\gt N$  için  $\epsilon\ge \dfrac{ac^m}{1-c}$ eşitsizliği sağlanacağından kanıt tamamlanır.

Aynı zamanda gerçel sayılar kümesinde her Cauchy dizisi yakınsak olduğundan büzüşen dizi de yakınsaktır.

(2.7k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,200 soru
21,728 cevap
73,275 yorum
1,887,914 kullanıcı