Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
273 kez görüntülendi
Her büzen dizinin bir Cauchy dizisi olduğunu gösteriniz.
Lisans Matematik kategorisinde (11.4k puan) tarafından  | 273 kez görüntülendi

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Tanım: $(x_n)_n\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ yani $(x_n)_n$ bir gerçel sayı dizisi olsun.

$(x_n)_n, \text{ büzen dizi}:\Leftrightarrow (\exists c\in (0,1))(\forall n\in\mathbb{N})(|x_{n+2}-x_{n+1}|\leq c\cdot |x_{n+1}-x_n|)$

 

Büzen dizi tanımından bir $k$ göstergeci için $$|x_{k+1}-x_k|\le c|x_k-x_{k-1}|$$ ve $$|x_k-x_{k-1}|\le c|x_{k-1}-x_{k-2}|$$ eşitsizliklerini birlikte düşünerek $$|x_{k+1}-x_k|\le c^2|x_{k-1}-x_{k-2}|$$ yazılabilir. Benzer olarak devam edilirse tümevarımla $$|x_{k+1}-x_k|\le c^t|x_{k-t+1}-x_{k-t}|$$ olduğu görülebilir. $t=k$ yazılarak $$|x_{k+1}-x_k|\le c^{k-1} |x_2-x_1|=c^{k-1}a$$ olur.

$n\gt m$ olmak üzere elde ettiğimiz bu eşitsizlik ve üçgen eşitsizliği kullanılarak

$$\begin{array}{rcl} |x_n-x_m| & = & |x_n-x_{n-1}+x_{n-1}-x_{n-2}+\ldots +x_{m+1}-x_m| \\ \\ & \le & |x_n-x_{n-1}|+|x_{n-1}-x_{n-2}|+\ldots +|x_{m+1}-x_m| \\ \\ &\le  &c^{n-2}a+c^{n-3}a+\ldots +c^{m-1}a \\ \\ & = & ac^{m-1}(c^{n-m-1}+c^{n-m-2}+\ldots +1) \\ \\ & = & ac^{m-1}\dfrac{1-c^{n-m}}{1-c} \\ \\ & \le & \dfrac{ac^{m-1}}{1-c}\end{array}$$ elde edilir. O halde her $\epsilon>0$ sayısı için $K:=\lfloor\log_c\frac{(1-c)\epsilon}{a}\rfloor+2 \in\mathbb{N}$ seçilirse

$$\begin{array}{rcl} n,m\geq K\Rightarrow |x_n-x_m| & = & |x_n-x_{n-1}+x_{n-1}-x_{n-2}+\ldots +x_{m+1}-x_m| \\ \\ & \leq & \ldots  \\ \\ & \leq & \dfrac{ac^{m-1}}{1-c} \\ \\ & \leq & \dfrac{ac^{K-1}}{1-c} \\ \\ & = & \dfrac{ac^{\lfloor\log_c\frac{(1-c)\epsilon}{a}\rfloor+2-1}}{1-c} \\ \\ & = & \dfrac{ac^{\lfloor\log_c\frac{(1-c)\epsilon}{a}\rfloor+1}}{1-c} \\ \\ & \leq & \dfrac{ac^{\log_c\frac{(1-c)\epsilon}{a}}}{1-c} \\ \\ & = & \dfrac{a\frac{(1-c)\epsilon}{a}}{1-c} \\ \\ & = & \epsilon \end{array}$$ koşulu sağlanır. Dolayısıyla $(x_n)_n$ dizisi bir Cauchy dizisidir. Aynı zamanda gerçel sayılar kümesinde her Cauchy dizisi yakınsak olduğundan büzen dizi de yakınsaktır.

(2.8k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,240 soru
21,759 cevap
73,401 yorum
2,067,521 kullanıcı