Tanım: (xn)n∈RN yani (xn)n bir gerçel sayı dizisi olsun.
(xn)n, büzen dizi:⇔(∃c∈(0,1))(∀n∈N)(|xn+2−xn+1|≤c⋅|xn+1−xn|)
Büzen dizi tanımından bir k göstergeci için |xk+1−xk|≤c|xk−xk−1| ve |xk−xk−1|≤c|xk−1−xk−2| eşitsizliklerini birlikte düşünerek |xk+1−xk|≤c2|xk−1−xk−2| yazılabilir. Benzer olarak devam edilirse tümevarımla |xk+1−xk|≤ct|xk−t+1−xk−t| olduğu görülebilir. t=k yazılarak |xk+1−xk|≤ck−1|x2−x1|=ck−1a olur.
n>m olmak üzere elde ettiğimiz bu eşitsizlik ve üçgen eşitsizliği kullanılarak
|xn−xm|=|xn−xn−1+xn−1−xn−2+…+xm+1−xm|≤|xn−xn−1|+|xn−1−xn−2|+…+|xm+1−xm|≤cn−2a+cn−3a+…+cm−1a=acm−1(cn−m−1+cn−m−2+…+1)=acm−11−cn−m1−c≤acm−11−c elde edilir. O halde her ϵ>0 sayısı için K:=⌊logc(1−c)ϵa⌋+2∈N seçilirse
n,m≥K⇒|xn−xm|=|xn−xn−1+xn−1−xn−2+…+xm+1−xm|≤…≤acm−11−c≤acK−11−c=ac⌊logc(1−c)ϵa⌋+2−11−c=ac⌊logc(1−c)ϵa⌋+11−c≤aclogc(1−c)ϵa1−c=a(1−c)ϵa1−c=ϵ koşulu sağlanır. Dolayısıyla (xn)n dizisi bir Cauchy dizisidir. Aynı zamanda gerçel sayılar kümesinde her Cauchy dizisi yakınsak olduğundan büzen dizi de yakınsaktır.