Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
663 kez görüntülendi
Her büzen dizinin bir Cauchy dizisi olduğunu gösteriniz.
Lisans Matematik kategorisinde (11.6k puan) tarafından  | 663 kez görüntülendi

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Tanım: (xn)nRN yani (xn)n bir gerçel sayı dizisi olsun.

(xn)n, büzen dizi:⇔(c(0,1))(nN)(|xn+2xn+1|c|xn+1xn|)

 

Büzen dizi tanımından bir k göstergeci için |xk+1xk|c|xkxk1| ve |xkxk1|c|xk1xk2| eşitsizliklerini birlikte düşünerek |xk+1xk|c2|xk1xk2| yazılabilir. Benzer olarak devam edilirse tümevarımla |xk+1xk|ct|xkt+1xkt| olduğu görülebilir. t=k yazılarak |xk+1xk|ck1|x2x1|=ck1a olur.

n>m olmak üzere elde ettiğimiz bu eşitsizlik ve üçgen eşitsizliği kullanılarak

|xnxm|=|xnxn1+xn1xn2++xm+1xm||xnxn1|+|xn1xn2|++|xm+1xm|cn2a+cn3a++cm1a=acm1(cnm1+cnm2++1)=acm11cnm1cacm11c elde edilir. O halde her ϵ>0 sayısı için K:=logc(1c)ϵa+2N seçilirse

n,mK|xnxm|=|xnxn1+xn1xn2++xm+1xm|acm11cacK11c=aclogc(1c)ϵa+211c=aclogc(1c)ϵa+11caclogc(1c)ϵa1c=a(1c)ϵa1c=ϵ koşulu sağlanır. Dolayısıyla (xn)n dizisi bir Cauchy dizisidir. Aynı zamanda gerçel sayılar kümesinde her Cauchy dizisi yakınsak olduğundan büzen dizi de yakınsaktır.

(3.4k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,333 soru
21,889 cevap
73,624 yorum
3,094,882 kullanıcı