Tanım: $(x_n)_n\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ yani $(x_n)_n$ bir gerçel sayı dizisi olsun.
$(x_n)_n, \text{ büzen dizi}:\Leftrightarrow (\exists c\in (0,1))(\forall n\in\mathbb{N})(|x_{n+2}-x_{n+1}|\leq c\cdot |x_{n+1}-x_n|)$
Büzen dizi tanımından bir $k$ göstergeci için $$|x_{k+1}-x_k|\le c|x_k-x_{k-1}|$$ ve $$|x_k-x_{k-1}|\le c|x_{k-1}-x_{k-2}|$$ eşitsizliklerini birlikte düşünerek $$|x_{k+1}-x_k|\le c^2|x_{k-1}-x_{k-2}|$$ yazılabilir. Benzer olarak devam edilirse tümevarımla $$|x_{k+1}-x_k|\le c^t|x_{k-t+1}-x_{k-t}|$$ olduğu görülebilir. $t=k$ yazılarak $$|x_{k+1}-x_k|\le c^{k-1} |x_2-x_1|=c^{k-1}a$$ olur.
$n\gt m$ olmak üzere elde ettiğimiz bu eşitsizlik ve üçgen eşitsizliği kullanılarak
$$\begin{array}{rcl} |x_n-x_m| & = & |x_n-x_{n-1}+x_{n-1}-x_{n-2}+\ldots +x_{m+1}-x_m| \\ \\ & \le & |x_n-x_{n-1}|+|x_{n-1}-x_{n-2}|+\ldots +|x_{m+1}-x_m| \\ \\ &\le &c^{n-2}a+c^{n-3}a+\ldots +c^{m-1}a \\ \\ & = & ac^{m-1}(c^{n-m-1}+c^{n-m-2}+\ldots +1) \\ \\ & = & ac^{m-1}\dfrac{1-c^{n-m}}{1-c} \\ \\ & \le & \dfrac{ac^{m-1}}{1-c}\end{array}$$ olduğundan her $\epsilon>0$ sayısı için $K:=\lfloor\log_c\frac{(1-c)\epsilon}{a}\rfloor+2 \in\mathbb{N}$ seçilirse
$$\begin{array}{rcl} n,m\geq K\Rightarrow |x_n-x_m| & = & |x_n-x_{n-1}+x_{n-1}-x_{n-2}+\ldots +x_{m+1}-x_m| \\ \\ & \leq & \ldots \\ \\ & \leq & \dfrac{ac^{m-1}}{1-c} \\ \\ & \leq & \dfrac{ac^{K-1}}{1-c} \\ \\ & = & \dfrac{ac^{\lfloor\log_c\frac{(1-c)\epsilon}{a}\rfloor+2-1}}{1-c} \\ \\ & = & \dfrac{ac^{\lfloor\log_c\frac{(1-c)\epsilon}{a}\rfloor+1}}{1-c} \\ \\ & \leq & \dfrac{ac^{\log_c\frac{(1-c)\epsilon}{a}}}{1-c} \\ \\ & = & \dfrac{a\frac{(1-c)\epsilon}{a}}{1-c} \\ \\ & = & \epsilon \end{array}$$ koşulu sağlanır. Dolayısıyla $(x_n)_n$ dizisi bir Cauchy dizisidir. Aynı zamanda gerçel sayılar kümesinde her Cauchy dizisi yakınsak olduğundan büzen diziler de $(\mathbb{R}$'de$)$ yakınsaktır.