Question

$\int ^{2\pi }_{\frac{3\pi }{2}} \sqrt{1+\sin x}dx$

Burada daha önce denediklerimi yazmamı isteyecekseniz lakin bildiğim dönüşümler işe yaramadı.

Comments

$1+sinx$ değerini $1-sinx$ ile çarpıp bölün. O zaman integrant $$\dfrac{cosx} {\sqrt{1-sinx}} $$ olur.

Answer 1

Alper hocanın önerisine ek olarak şunu da kullanabiliriz:

$\sin 2x = 2\sin x \cos x \implies \sin x= 2\sin (\frac {x}{2})\cos(\frac {x}{2}) $

Bizim elimizde $1 +\sin x$ ifadesi var o halde $1 + \sin x = \sin^2 (\frac {x}{2}) + \cos^2(\frac {x}{2}) + 2\sin (\frac {x}{2})\cos(\frac {x}{2})$

$\implies 1 +\sin x= (\sin (\frac {x}{2}) + \cos (\frac {x}{2}) ) ^2$.

Şimdi, $\int ^{2\pi }_{\frac{3\pi }{2}} \sqrt{1+\sin x}dx = \int ^{2\pi }_{\frac{3\pi }{2}} \sqrt{(\sin (\frac {x}{2}) + \cos (\frac {x}{2}) ) ^2}dx=\int ^{2\pi }_{\frac{3\pi }{2}} \mid \sin (\frac {x}{2}) + \cos (\frac {x}{2}) \mid dx$

ve aşağıdaki nedenden dolayı $\displaystyle - \int ^{2\pi }_{\frac{3\pi }{2}} \sin (\frac {x}{2}) +\cos (\frac {x}{2}) dx$ olur.

Geriye, sırasıyla integralleri alıp sınırları yerine koymak kalıyor.

Comments

${3\pi\over2}\leq x\leq 2\pi$ iken ${3\pi\over4}\leq {x\over2}\leq \pi$ olur,

O zaman da $0\leq\sin{x\over2}\leq\frac{1}{\sqrt2},\ -1\leq\cos{x\over2}\leq\frac{-1}{\sqrt2}$ ve $|\cos{x\over2}|\geq|\sin{x\over2}|$ olur.

Bu nedenle, $|\sin{x\over2}+\cos{x\over2}|=-(\sin{x\over2}+\cos{x\over2})=-\sin{x\over2}-\cos{x\over2}$ olmaz mı?

---

Evet,  $x/2=u$ gibi bir değişken değiştirmesi ve buna bağlı olarak integral sınırlarında değişiklik yapılması gerekiyordu.

---

Mutlak değeri silerken  bir işaret hatası olmuş. Ben onu belirtmek istedim.

---

Kesinlikle haklısınız.

Answer 2

$$1+\sin x=1+\cos\left(\frac\pi2-x\right)=2\cos^2\left(\frac \pi4-\frac x2\right)=2\sin^2\left(\frac x2+\frac\pi4\right)$$ eşitliğini kullanırsak $$\int_{3\pi/2}^{2\pi}-\sqrt2\sin\left(\frac x2+\frac\pi4\right)dx=\left.2\sqrt2\cos\left(\frac x2+\frac \pi4\right)\right|_{3\pi/2}^{2\pi}$$

$$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad=2\sqrt2(\cos(5\pi/4)-\cos\pi)=2\sqrt2-2$$ eşitliği sağlanır.