erf(x) fonksiyonunun tanımı şöyledir :
erf(x)=2√π∫x0e−t2dt
İntegralimiz :
∫e−x2erfn(x)dx
erf(x) yerine yukarıda verdiğim eşitliği yazalım.
(2√π)n∫e−x2(∫x0e−t2dt)ndx
∫x0e−t2dt=ω olacak biçimde değişken değiştirelim.
(2√π)n∫ωndω
İntegrali alalım.
(2√π)nwn+1n+1
Değiştirdiğimiz değişkeni tekrar yazalım.
(2√π)n(∫x0e−t2dt)n+1n+1
∫x0e−t2dt yerine √π2erf(x) yazalım ve sadeleştirelim.
(2√π)n(√π2erf(x))n+1n+1
(2√π)n(√π2)n+1erfn+1n+1
∫e−x2erfn(x)dx=√πerf(n+1)(x)2(n+1)