${\int e^{-x^2}erf^n(x)dx=\frac{\sqrt{\pi}\:erf^{(n+1)}(x)}{2(n+1)}}$ eşitliğini ispatlayın

Question

${erf(x)}$ hata fonksiyonu olmak üzere :

$${\large\int e^{-x^2}erf^n(x)dx=\frac{\sqrt{\pi}\:erf^{(n+1)}(x)}{2(n+1)}}$$

Eşitliğini ispatlayın.

Answer 1

${erf(x)}$ fonksiyonunun tanımı şöyledir :

$${erf(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2}dt}$$
İntegralimiz :
$${\int e^{-x^2}erf^n(x)dx}$$
${erf(x)}$ yerine yukarıda verdiğim eşitliği yazalım.
$${\bigg(\frac{2}{\sqrt{\pi}}\bigg)^n\int e^{-x^2}\bigg(\int_0^x e^{-t^2}dt\bigg)^ndx}$$
${\int_0^x e^{-t^2}dt=\omega}$ olacak biçimde değişken değiştirelim.
$${\bigg(\frac{2}{\sqrt{\pi}}\bigg)^n\int\omega^nd\omega}$$
İntegrali alalım.
$${\bigg(\frac{2}{\sqrt{\pi}}\bigg)^n\frac{w^{n+1}}{n+1}}$$
Değiştirdiğimiz değişkeni tekrar yazalım.
$${\bigg(\frac{2}{\sqrt{\pi}}\bigg)^n\frac{\bigg(\int_0^x e^{-t^2}dt\bigg)^{n+1}}{n+1}}$$
${\int_0^x e^{-t^2}dt}$ yerine ${\frac{\sqrt{\pi}}{2}erf(x)}$ yazalım ve sadeleştirelim.
$${\bigg(\frac{2}{\sqrt{\pi}}\bigg)^n\frac{\bigg(\frac{\sqrt{\pi}}{2}erf(x)\bigg)^{n+1}}{n+1}}$$
$${\bigg(\frac{2}{\sqrt{\pi}}\bigg)^n\bigg(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\bigg)^{n+1}\frac{erf^{n+1}}{n+1}}$$
$${\large\int e^{-x^2}erf^n(x)dx=\frac{\sqrt{\pi}\:erf^{(n+1)}(x)}{2(n+1)}}$$