Question

$a,b,c,d\in\mathbb{N}^+$ ve $ab=cd$ ise $a+b+c+d$ nin asal olmadığını gösteriniz.

Comments

İran da,1996 da Matematik Olimpiyatları 2. turunda sorulmuş bir soru imiş.

youtbe da bir kanalda iki karmaşık çözüm verilmiş ama benim çok daha basit bir çözümüm var

Answer 1

Tahminimce, çok basit çözüm şöyle bir şey olmalı:

 

$c$ nin çarpanlarının bir kısmı $a$ da, $c$ nin kalan çarpanları ise $b$ de olacaktır. Yine $d$ nin çarpanlarının bir kısmı $a$ da, $d$ nin kalan çarpanları ise $b$ de olacaktır. O halde,

 

$a=xy$, $b=zt$ olmak üzere $c=xz$ ve $d = yt$ biçizimde yazabiliriz ($x, y, z, t \in \mathbb Z^+$ ).

$$a+b+c+d = xy + zt + + xz + yt = x(y+z) + t(y+z) = (x + t)(y+z)$$ olup bileşik sayıdır. Yani $a+b+c+d$ toplamı asal değildir.

Comments

Evet. Bu eşitliklere şöyle de ulaşabiliriz:

$\frac ac=\frac db$ kesirlerinin indirgenmiş (payı ve paydası aralarında asal ve pozitif) şekli $\frac xy$ olsun.

O zaman, bir $m>0$ tamsayısı için $a=mx,\ c=my$ ve bir $n>0$ tamsayısı için $d=nx,\ b=ny$ olur.

Youtube daki iki karmaşık ve uzun çözüm şurada.