Kabul Edilmeyen Çözümüm (USAMO 1972 - Pr 1)

Question

$(a,b,\ldots,g)$ ve $[a,b,\ldots, g]$ sembolleri, $a,b,\ldots , g$ pozitif tamsayılarının sırasıyla en büyük ortak bölenini ve en küçük ortak katını gösterir. Örneğin, $(3,6,18)=3$ ve $[6,15]=30$.

 

$$\dfrac{[a,b,c]^2}{[a,b][b,c][c,a]}=\dfrac{(a,b,c)^2}{(a,b )(b,c)(c,a)} $$

 

eşitliğini ispatlayınız.

 

Bazı Bilgiler ve Anekdotlar:

1. Problem, 1972'den düzenlenen 1. ABD Matematik Olimpiyatı (USAMO) sınavının 1. sorusudur. Yıllar önce lisans derslerimizden birinde bir hocamız bu soruyu "Bu soruyu daha önceki öğrencilerden kimse çözemedi" diye ifade ederek tüm sınıfa sormuştu.

 

2. Olimpiyat sorusu olduğundan habersiz olmakla birlikte, ders sonrasında bir çok arkadaşımız evde/yurtta probleme uğraşıp çözümlerimizi bir kağıda yazarak hocamıza teslim ettik. (Elbette konu içeriği olarak lisans düzeyi öğrencilere de sormaya uygun bir sorudur.) Açıkçası problem beni fazla uğraştırmamıştı. Kolay bir çözüm elde etmiştim. Ders hocası, daha sonraki bir dersinde hiç birimizin problemi doğru çözemediğini açıkladı. "Ben çözmüştüm" dediğimde, "Öyle olmaz" demişti.

 

3. Kağıdıma yazdığım çözüm aşağıdaki gibidir. Bu çözümün, AoPS sitesinde Very simple olarak isimlendirilen 4. çözüm yolu ile aynı olduğunu görebiliriz. Buradaki en büyük ortak bölen sorusuna yorum yazarken, çözüm fikri olarak USAMO 1972/1 sorusu hatırlattı bana. Paylaşımı bu sebeple yaptım. Ders hocamız çok basit olan çözümü neden kabul etmedi, emin değilim. Bu hikayeden çıkarılması gereken bir sonuç bence şudur: Sunulan soruya verilen çözümlerin anlaşılmadığı veya eksik olduğu düşünüldüğü durumlarda öğrencilere daha detaylı bir geri bildirim verilmesi faydalı ve motive edici olur. 

 

Kabul Edilmeyen Çözümüm: $a, b, c$ sayılarını $a = dxpq$, $b = dypr$, $c = dzqr$ şeklinde çarpanlara ayıralım. Bu çarpanların görevini aşağıdaki şema ile açıklayabiliriz.

Bu Venn şemasına göre, $(a,b,c)=d$, $(a,b) = pd$, $(a,c) = qd$, $ (b,c) = rd$, $[a,b] = xypqrd$, $[a,c] = xzpqrd$, $[b,c] = yzpqrd$, $[a,b,c] = xyzpqrd$ olur.

 

İlk olarak ispatlamak istediğimiz eşitliğin sol tarafını inceleyelim:

$\dfrac{[a,b,c]^2}{[a,b][b,c][c,a]} = \dfrac{(xyzpqrd)^2}{xypqrd \cdot yzpqrd \cdot xyzpqrd} = \dfrac{1}{pqrd} \tag{1}$ olur.

 

Şimdi de ispatlamak istediğimiz eşitliğin sağ tarafını inceleyelim:

$ \dfrac{(a,b,c)^2}{(a,b)(b,c)(c,a)} = \dfrac{d^2}{pd \cdot rd \cdot qd} = \dfrac{1}{pqrd} \tag{2}$

olur. $(1)$ ve $(2)$ eşitliklerinden istenen elde edilir.

Comments

Çözüm yanlış, öyle olmaz.

---

:)) sağlık olsun Özgür hocam. Daha sonra, daha kötüsünü bir başka hocamızla nümerik analiz sınavında yaşamıştım.

 

$100$ tam puan beklediğim sınavdan $80$ gelince kağıdımı görmek istedim. Kağıdı okuyan araştırma görevlisi hocamız, "Lokman, sen $60$ alıyordun, $20$ puan da ben ekledim" dedi. İnceledik, işlem hatasından dolayı $5$ puan kırdığı bir çözümü gösterdi. Bu tamam, dedim. Sonra $20$ puanlık bir çözümümü tamamen çizdiğini gördüm. "Çözümü şöyle olacak" dedi ve çözüm anahtarı kağını gösterdi. Ben de "tümevarım kullandım" dedim ve açıkladım. Anlar gibi yaptı ama yüz ifadesi bana anlamadığını düşündürdü. $+20$ puan yazdı. Sonra $15$ puanlık bir sorumun da tamamen çizildiğini gördüm. "Burada Taylor serisini kullanarak yaklaşık değer hesaplayacaktın" dedi. Ben de "soruda özel bir yöntem adı belirtilmediği için Newton-Raphson yöntemiyle yaklaşık değeri hesapladım" dedim (Çünkü bildiğim $7$ nümerik çözüm yolu vardı). Azarladı ve "verdiğim $20$ puanı aldım, yine $80$ aldın işte" dedi, göndedi :)

 

Bu da $20$ yıllık bir anımdır. Buna da sağlık olsun. Zira, bundan daha kötüsünü de yaşadım :)