Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
500 kez görüntülendi

Daha önce yukarıdaki gibi yaparak bir lise sorusunu çözmüştüm ama tesadüf mü yoksa doğru mu emin değildim. Şimdi ben başka bir soruda daha bunu görünce sormak istedim. Bahsi geçen soru:

 

x,y,z pozitif tamsayılar olmak üzere 1x1y=1z ve ebob(x,y,z)=d ise dxyz ve d(yx) sayıları tam karedir,ispatlayınız.(Britanya Matematik Olimpiyatları 1998) 

Çözümüm

x=dkl

y=dlm

z=dkm

ise 1dkl1dlm=1dkm ve bu ifadeyi biraz düzenlersem mk=l gelir.

 

dxyz=d4k2l2m2=(d2klm)2=t2

d(yx)=d(dlmdkl)=d2l(mk)=d2l2=(dl)2=u2

 

Soruyu böyle çözdüm ama izlediğim çözüm 10 dakika civarıydı ben de bu kadar basit çözünce emin olamadım ve buraya sormak istedim.

Not ve Sorum

Evet soruda ebob(d,k,l,m)=1'i kullanmadım ama kullanmadığım hali doğru muydu? Eğer doğru ise ebob(d,k,l,m)=1 kullanabilir miyim?

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (15 puan) tarafından 
tarafından yeniden kategorilendirildi | 500 kez görüntülendi
Çözümün kusurlu ama tamamen hatalı değil. Yine de bu kusur klasik bir sınavda önemli bir puan kesintisine neden olur. Örneğin 7 tam puan alınabilecekken, 1 veya 2 puan alınmasına neden olur. Kusur şudur:

 

x,y,z sayıları için

sadece x'de bulunan fakat y ve z de bulunmayan bir çarpan olamaz mı?

sadece y'de bulunan fakat x ve z de bulunmayan bir çarpan olamaz mı?

sadece z'de bulunan fakat y ve x de bulunmayan bir çarpan olamaz mı?

 

Bunlar mümkün olduğu için

x=adkl,y=bdlm,z=cdkm

alarak işlemlerinizi yaparsanız bu kusurları gidermiş olursunuz. İspatınız tam olmuş olur. Buna göre çözmeyi deneyip, cevabınızı paylaşabilirsiniz. Başarılar.
Ama hocam ben aralarında asal olduğunu söylemezsem işlemim doğru olabilir mi?

O zaman izlediğim çözüm de hatalı oluyor çünkü

x=da

y=db

z=dc

kabul edilerek işlem yapılmıştı.

Mesela o zaman x ve y'de ortak olup z'de olmayan bir çarpan da olabilir.

Evet ebob(d,k,l,m)=1 olarak düşünürsem hatalı olur hocam onu anladım ama sonuçta ben aralarında asal demediğim için sorun olmaz diye düşünüyorum.
Yorum kısmına yazdığım ilerlemeleri toparlayıp çözümü tamamladığım için aşağıya ekledim.

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Kontrol ettim, British MO 1998, 2. tur, 3. sorusuymuş. (BMO'nun 1. turunda da bazen oldukça zorlu problemler gelebiliyor.) Problemi tamamen çözmedim ancak bazı bulguları paylaşabilirim. Soru kağıdında x,y,z nin en büyük ortak böleni h ile gösterilmiş ama diyaloglarda hep d yazarak ilerlediğimiz için yine d harfi ile devam edelim.


x=adkl,y=bdlm,z=cdkm yazılışını kullandığımız zaman bazı özelliklere sahibiz. (k,l)=(k,m)=(l,m)=1 dir. Örneğin, (k,l) nin 1 den büyük bir çarpanı olsaydı, bu çarpanı da d ye yazmış olmak gerekirdi. Yine benzer şekilde (a,b)=(a,c)=(b,c)=1 dir. Eğer (a,b) nin 1 den büyük bir çarpanı olsaydı bunu l ye yazmak gerekirdi.

           

Verilen denklemi kullanarak d(yx)=dxyz yazabiliriz. z2 ile çarpalım. Bu tam sayının tam kare olması için dxyz nin tam kare olması gerekli ve yeterlidir. Yani problemin ispatlanması istenen maddeleri eşdeğerdir. Biri ispatlanırsa, diğeri de ispatlanmış olur.

 

Verilen denklemi z(yx)=xy biçiminde yazıp x,y,z nin eşitlerini de yazarsak c(bmak)=abl eşitliğini buluyoruz. (a,b)=(a,c)=(b,c)=1 oluşundan dolayı cl ve abmak, bbmak bulunur. Buradan da am ve bk bulunur.

 

d(yx)=dxyz=d2l2abc buluruz. Henüz ispatlamadım ama eğer a=b=c=1 gibi bir sonucu ispatlayabilirsek d(yx)=d2l2 olur ve problem biter. Belki izlediğiniz çözümün bir aşamasında a=b=c=1 olduğu da gösterilmiştir. Bu şekilde bahsettiğiniz çözüm de doğru olacaktır. Şimdi aşılması gereken yer a=b=c=1 eşitliğinin ispatı olarak duruyor...Uygun zamanda biraz daha düşünelim.

 

Devam Edelim: Biraz daha düşündüm ve cl sonucu bize c=1 verir. Çünkü c>1 olsa, cl den dolayı cx, cy dir. Bu ise cd|x, cdy, cdz olmasını gerektirir. Halbuki obeb(x,y,z)=d idi. d den daha büyük bir cd ortak böleni elde etmiş oluruz, çelişki. Yani c=1 dir. Aslında bu durum, Venn şemasından basitçe görülüyor. c ile l farklı çemberlerin ayrık bölgeleri içinde olduğundan bu sayılar aralarında asaldır. cl oluşu, c=1 olmasını gerektirir diyebiliriz. Benzer şekilde (a,m)=(b,k)=1 dir. am  ve bk oluşu da a=1,b=1 olmasını gerektirir. Tüm bunlar d(xy)=d2l2abc=d2l2, yani bir tam kare olduğunu gösterir.  dxyz=d(xy)z2=d2l2z2 olur yine bir tam karedir. Bitti.

(2.6k puan) tarafından 
0 beğenilme 0 beğenilmeme

2. çözümü T. Andreescu & Z. Feng'in 1998-1999 Olimpiyat Soruları ve Çözümleri kitabında gördüm ve buradan alıntı yapacağım. Olimpiyat kitabı çözümü olduğu için bazı ara basamakların atlanması tercih edilebiliyor. Ben daha iyi olacağını düşünerek fazladan bir kaç açıklama daha ekledim.

 

2. Çözüm: (x,y,z)=d olsun. Bu durumda x=da,y=db,z=dc ve (a,b,c)=1 olacak şekilde a,b,c pozitif tam sayıları vardır. Şimdi (a,b)=g diyelim. Bu durumda a=ga,b=gb ve (a,b)=1 olacak şekilde a,b pozitif tam sayıları vardır. Euclid algoritması ile

(a,b)=(ab,b)=(a,ab)=1

yazılır. Verilen denkleme göre,

1x1y=1z1a1b=1cc(ba)=abc(ba)=abg

olur. Dolayısıyla gc ve (a,b,c)=g=1 dir. Böylelikle (a,b)=1 olur. (ba,ab)=1 olduğunu göstermek zor değildir. Bundan dolayı c(ba)=ab denkleminde ba=1 olmalıdır. ba=1 ve c=ab olur.

dxyz=d4abc=(d2ab)2 ve d(xy)=d2 olup her ikisi de tam karedir.

 

(2.6k puan) tarafından 
20,291 soru
21,832 cevap
73,524 yorum
2,659,543 kullanıcı