Kontrol ettim, British MO 1998, 2. tur, 3. sorusuymuş. (BMO'nun 1. turunda da bazen oldukça zorlu problemler gelebiliyor.) Problemi tamamen çözmedim ancak bazı bulguları paylaşabilirim. Soru kağıdında x,y,z nin en büyük ortak böleni h ile gösterilmiş ama diyaloglarda hep d yazarak ilerlediğimiz için yine d harfi ile devam edelim.
∙ x=adkl,y=bdlm,z=cdkm yazılışını kullandığımız zaman bazı özelliklere sahibiz. (k,l)=(k,m)=(l,m)=1 dir. Örneğin, (k,l) nin 1 den büyük bir çarpanı olsaydı, bu çarpanı da d ye yazmış olmak gerekirdi. Yine benzer şekilde (a,b)=(a,c)=(b,c)=1 dir. Eğer (a,b) nin 1 den büyük bir çarpanı olsaydı bunu l ye yazmak gerekirdi.
∙ Verilen denklemi kullanarak d(y−x)=dxyz yazabiliriz. z2 ile çarpalım. Bu tam sayının tam kare olması için dxyz nin tam kare olması gerekli ve yeterlidir. Yani problemin ispatlanması istenen maddeleri eşdeğerdir. Biri ispatlanırsa, diğeri de ispatlanmış olur.
∙ Verilen denklemi z(y−x)=xy biçiminde yazıp x,y,z nin eşitlerini de yazarsak c(bm−ak)=abl eşitliğini buluyoruz. (a,b)=(a,c)=(b,c)=1 oluşundan dolayı c∣l ve a∣bm−ak, b∣bm−ak bulunur. Buradan da a∣m ve b∣k bulunur.
∙ d(y−x)=dxyz=d2l2abc buluruz. Henüz ispatlamadım ama eğer a=b=c=1 gibi bir sonucu ispatlayabilirsek d(y−x)=d2l2 olur ve problem biter. Belki izlediğiniz çözümün bir aşamasında a=b=c=1 olduğu da gösterilmiştir. Bu şekilde bahsettiğiniz çözüm de doğru olacaktır. Şimdi aşılması gereken yer a=b=c=1 eşitliğinin ispatı olarak duruyor...Uygun zamanda biraz daha düşünelim.
Devam Edelim: Biraz daha düşündüm ve c∣l sonucu bize c=1 verir. Çünkü c>1 olsa, c∣l den dolayı c∣x, c∣y dir. Bu ise cd|x, cd∣y, cd∣z olmasını gerektirir. Halbuki obeb(x,y,z)=d idi. d den daha büyük bir cd ortak böleni elde etmiş oluruz, çelişki. Yani c=1 dir. Aslında bu durum, Venn şemasından basitçe görülüyor. c ile l farklı çemberlerin ayrık bölgeleri içinde olduğundan bu sayılar aralarında asaldır. c∣l oluşu, c=1 olmasını gerektirir diyebiliriz. Benzer şekilde (a,m)=(b,k)=1 dir. a∣m ve b∣k oluşu da a=1,b=1 olmasını gerektirir. Tüm bunlar d(x−y)=d2l2abc=d2l2, yani bir tam kare olduğunu gösterir. dxyz=d(x−y)z2=d2l2z2 olur yine bir tam karedir. Bitti.