Düzgün Süreklilik-XV

Question

$\alpha>0$ olmak üzere $f(x):=\ln x$ kuralı ile verilen $f:(\alpha,\infty)\to\mathbb{R}$ fonksiyonunun düzgün sürekli midir?

Answer 1

Türev kullanarak (Ortalama Değer Teoremi ile) kolayca gösterilebilir.

Zor yoldan gösterelim.

Şunları kullanmak yeterli olacaktır:

• $x>1$ iken $\ln x>0$,
• $\forall x,y>0$ için $\ln\frac xy=\ln x-\ln y$
• $\forall x>0$ için $\ln x\leq x-1$

Bir $\varepsilon>0$ sayısı verilsin.

$\delta=\alpha\varepsilon$ alalım. $\delta>0$ olur.
$x,y>\alpha$ ve $|x-y|<\delta$ olsun.
$x>y$ iken $|\ln x-\ln y|<\varepsilon$ olduğunu göstermek yeterlidir.
$|\ln x-\ln y\,|=\ln\frac xy\leq\frac{x}y-1= \frac{x-y}y<\frac{x-y}\alpha<\frac{\alpha\varepsilon}\alpha=\varepsilon$ olur.

Answer 2

Bir yanıt da ben ekleyeyim. Şöyle ki:

Her Lipschitz sürekli fonksiyonun düzgün sürekli olduğunu biliyoruz (veya kolayca gösterilebilir çok kolay). O halde soruda verilen $f$ fonksiyonunun Lipschitz sürekli olduğunu gösterirsek $f$ fonksiyonunun düzgün sürekli olduğunu göstermiş oluruz. Bunun için bu linkte yer alan teoremden faydalanacağız.

 

$K:=\frac{1}{\alpha}$ seçilirse her $a\in (\alpha,\infty)$ için $$|f'(a)|=\left|\frac{1}{a}\right|=\frac{1}{a}<\frac{1}{\alpha}=K$$ koşulu sağlanır. O halde $f$ fonksiyonu $(\alpha,\infty)$ aralığında Lipschitz süreklidir. Dolayısıyla $f$ fonksiyonu $(\alpha,\infty)$ aralığında düzgün süreklidir.