Düzgün Süreklilik-XIV

Question

$f(x):=\ln x$ kuralı ile verilen $f:(0,\infty)\to\mathbb{R}$ fonksiyonunun düzgün sürekli olmadığını gösteriniz.

Answer 1

$$f,\,\ (A \text{'da}) \,\ \text{düzgün sürekli değil}$$ $$:\Leftrightarrow$$ $$(\exists \epsilon >0)(\forall \delta >0)(\exists x\in A)(\exists y\in A)(\mid x-y \mid <\delta \,\ \wedge \mid f(x)-f(y)\mid \geq \epsilon)$$
kriterini kullanalım.
Her $\delta\gt 0$ sayısı için $\delta\gt 1/2n$ olmak üzere $x_n=1/n$   ve  $y_n=1/2n$ dizilerini alalım. $$|x_n-y_n|=|1/n-1/2n|=1/2n\lt \delta$$ olmasına rağmen  $\epsilon= \ln 2$ için $$|f(x_n)-f(y_n)|=|\ln(1/n)-\ln(1/2n)|=\ln2\ge \epsilon$$ olduğundan fonksiyon $(0,\infty)$ aralığında düzgün sürekli değildir.

Comments

Olağanüstü $\epsilon>0$ sayısını $0<\epsilon\leq \ln 2$  olarak mı seçtiniz?

---

Evet, öyle seçtim.

---

O zaman yanıta $\epsilon=\ln 2$ olmak üzere ibaresini eklememiz gerekiyor, değil mi?

---

Ekledim hocam, teşekkürler.

Answer 2

Düzgün süreklilik tanımı gereği $$(\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x\in A)(\forall y\in A)(\mid x-y \mid <\delta \Rightarrow \mid f(x)-f(y)\mid < \epsilon)$$ önermesinin yanlış yani $$(\exists \epsilon >0)(\forall \delta >0)(\exists x\in A)(\exists y\in A)(\mid x-y \mid <\delta \,\ \wedge \mid f(x)-f(y)\mid \geq \epsilon)\ldots (*)$$ önermesinin doğru olduğunu göstermeliyiz.

$\epsilon=1$ olmak üzere her $\delta\gt 0$ sayısı için $x:=\delta\in (0,\infty)$ ve $y:=\frac{\delta}{3}\in (0,\infty)$ seçilirse $$|x-y|=\frac{2\delta}{3}<\delta \ \ \text{  ve  } \ \ |f(x)-f(y)|=\left|\ln(\delta)-\ln\left(\frac{\delta}{3}\right)\right|=\ln3\geq 1=\epsilon$$ koşulu sağlanır yani $(*)$ önermesi doğru olur. O halde $f$ fonksiyonu $(0,\infty)$ aralığında düzgün sürekli değildir.