Düzgün Süreklilik-XIII

Question

$f(x):=e^x$ kuralı ile verilen $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ fonksiyonunun düzgün sürekli olmadığını gösteriniz.

Answer 1

İstenenden daha fazlasını gösterebiliriz.

Herhangi bir $\varepsilon>0$ sayısı verilsin.

$|x-y|<\delta$ olduğunda $|e^x-e^y|<\varepsilon$

olacak şekilde bir $\delta>0$ sayısının var olmadığını göstereceğiz. (Diğer çözümdeki gibi, tek bir $\varepsilon>0$ sayısı için bunu göstermek yeterlidir)

Böyle bir $\delta$ sayısının var olduğunu kabul edip, bir çelişkiye ulaşacağız.

$y=\ln\left(\dfrac{\varepsilon}{e^{\frac\delta2}-1}\right),\ x=y+\frac12\delta$ olsun.

$|x-y|=\frac\delta2<\delta$ olur.

$|e^x-e^y|=e^y(e^{\frac\delta2}-1)=\dfrac{\varepsilon}{e^{\frac\delta2}-1}(e^{\frac\delta2}-1)=\varepsilon\nless\varepsilon$ olur.

Çelişkiye ulaştık.

Answer 2

$\epsilon=1$ olmak üzere her $\delta>0$ için $x:=\ln\left(\frac{1}{\delta}+1\right)\in\mathbb{R}$ ve $y:=\ln\left(\frac{1}{\delta}+2\right)\in \mathbb{R}$ seçilirse
$$|x-y|=\left|\ln\left(\frac{1}{\delta}+1\right)-\ln\left(\frac{1}{\delta}+2\right)\right|=\left |\ln\left(\frac{\delta+1}{2\delta+1}\right)\right|\overset{?}{<}\ln e^{\delta}=\delta$$ ve $$|e^x-e^y|=\left|\frac{1}{\delta}+1-\frac{1}{\delta}-2\right|=1\geq 1=\epsilon$$ koşulu sağlanır yani
$$(\exists \epsilon>0)(\forall \delta>0)(\exists x\in\mathbb{R})(\exists y\in\mathbb{R})(|x-y|<\delta\wedge |f(x)-f(y)|\geq\epsilon)$$ önermesi doğru olur. O halde $f$ fonksiyonu $(\mathbb{R}\text{'de})$ düzgün sürekli değildir.

 

Not: "?" işaretinin gerekçesi buradaki linkte mevcut.