$\forall x\in\mathbb{R}$ için $f(x)\geq0$ olur.
Bu sorunun cevabını ardarda 10 (hepsi 2. derece) denklem çözerek bulamayız. $f$ nin (bileşke ile ilgili) bir özelliği olmalı.
$f$ nin $(0,+\infty)$ aralığında kesin azalan olduğu aşikar, öyleyse, bu aralıkta 1-1 ve tüm pozitif gerçel değerleri aldığı (sürekli ve $\lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty$ ve $\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$ oluşundan) aşikar.
Önce $f$ yi biraz daha basitleştirelim (bu zorunlu değil ama işi biraz kolaylaştırıyor). Paydayı rasyonelleştirerek
$x\notin(-\sqrt[3]2,0]$ için $f(x)=\frac{\sqrt{x^4+2x}-x^2}{2x}$ olur.
$x>0$ için $f(x)=\frac12\left(\sqrt{x^2+\frac2x}-x\right)$ olur.
$f$ yi $(0,+\infty)$ yi kısıtlayıp tersini bulalım.
$y=f(x)=\frac12\left(\sqrt{x^2+\frac2x}-x\right)$ den
$4yx^2+4y^2x-2=0$ ve $x=\frac{-y^2\pm\sqrt{y^2+y}}{2y}$
$\mathbf{x>0}$ ise ($y>0$ olup) $x=\frac12\left(\sqrt{y^2+\frac2y}-y\right)$ olur.
Bu da, $\mathbf{x>0}$ için, $f^2(x)=f(f(x))=x$ olması (bunu bileşke ile de bulabilirdik ama biraz daha uzun sürerdi) demektir.
(Bu, $f$ yi, $(0,+\infty)$ aralığına kısıtladığımızda, tersinin kendisi olması demektir)
Bunun sonucu olarak ( $f(x)=0$ iken $f(f(x))\neq1$ oluşundan, $f(x)>0$ olması gerektiğini kullanarak)
$f^{10}(x)=f^2(f^8(x))=f^8(x)=\cdots=f^2(x)=1$ olur.
(Son adımda, $x$ in işaretini bilmediğimiz için, daha fazla kısaltma yapamıyoruz)
$f(f(x))=1$ denkleminden, kolayca, ($f(x)>0$ olacağı için) $f(x)=f(1)=\frac{\sqrt3-1}2$ olarak bulunur.
$a=\frac{\sqrt3-1}2$ diyelim.
$f(x)=a$ nın tüm çözümlerini bulmak için $a=\frac1{x^2+\sqrt{x^4+2x}}$ den
$a(x^2+\sqrt{x^4+2x})=1$ den
$2ax^2+2a^2x-1=0$ olur, kökler toplamı $-\frac{2a^2}{2a}=-a=\frac{1-\sqrt3}2$ olur.