Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
248 kez görüntülendi

$f(x)=\begin{cases}0&-\sqrt[3]2< x\leq0\textrm{ ise}\\\dfrac1{x^2+\sqrt{x^4+2x}}&\textrm{diğer durumlarda}\end{cases}$ olsun.

$f^{10}(x)=1$ ($f$ nin kendisi ile $10$ kez bileşkesi) denkleminin çözümlerinin toplamını bulunuz.

(Harvard MIT Matematik yarışmasında sorulmuş, basit değil ama güzel)

Lisans Matematik kategorisinde (6.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 248 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$\forall x\in\mathbb{R}$ için $f(x)\geq0$ olur.

Bu sorunun cevabını ardarda 10 (hepsi 2. derece) denklem çözerek bulamayız. $f$ nin (bileşke ile ilgili) bir özelliği olmalı.

$f$ nin $(0,+\infty)$ aralığında kesin azalan olduğu aşikar, öyleyse, bu aralıkta 1-1 ve tüm pozitif gerçel değerleri aldığı (sürekli ve $\lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty$ ve $\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$ oluşundan) aşikar.

Önce $f$ yi biraz daha basitleştirelim (bu zorunlu değil ama işi biraz kolaylaştırıyor). Paydayı rasyonelleştirerek

$x\notin(-\sqrt[3]2,0]$ için $f(x)=\frac{\sqrt{x^4+2x}-x^2}{2x}$ olur.

$x>0$ için $f(x)=\frac12\left(\sqrt{x^2+\frac2x}-x\right)$ olur.

$f$ yi $(0,+\infty)$ yi kısıtlayıp tersini bulalım.

$y=f(x)=\frac12\left(\sqrt{x^2+\frac2x}-x\right)$  den

$4yx^2+4y^2x-2=0$  ve $x=\frac{-y^2\pm\sqrt{y^2+y}}{2y}$

$\mathbf{x>0}$ ise ($y>0$ olup) $x=\frac12\left(\sqrt{y^2+\frac2y}-y\right)$ olur.

Bu da, $\mathbf{x>0}$ için, $f^2(x)=f(f(x))=x$ olması (bunu bileşke ile de bulabilirdik ama biraz daha uzun sürerdi) demektir. 

(Bu, $f$ yi, $(0,+\infty)$ aralığına kısıtladığımızda, tersinin kendisi olması demektir) 

Bunun sonucu olarak ( $f(x)=0$ iken $f(f(x))\neq1$ oluşundan, $f(x)>0$ olması gerektiğini kullanarak)

$f^{10}(x)=f^2(f^8(x))=f^8(x)=\cdots=f^2(x)=1$ olur.

(Son adımda, $x$ in işaretini bilmediğimiz için, daha fazla kısaltma yapamıyoruz)

$f(f(x))=1$ denkleminden, kolayca, ($f(x)>0$ olacağı için) $f(x)=f(1)=\frac{\sqrt3-1}2$ olarak bulunur.

$a=\frac{\sqrt3-1}2$ diyelim.

$f(x)=a$ nın tüm çözümlerini  bulmak için $a=\frac1{x^2+\sqrt{x^4+2x}}$ den

$a(x^2+\sqrt{x^4+2x})=1$ den

$2ax^2+2a^2x-1=0$ olur, kökler toplamı $-\frac{2a^2}{2a}=-a=\frac{1-\sqrt3}2$ olur.

(6.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

Soru ve daha karmaşık bir çözümü Şurada.

20,248 soru
21,774 cevap
73,421 yorum
2,150,340 kullanıcı