$f\left(\frac{x-3}{x+1}\right)+f\left(\frac{x+3}{1-x}\right)=x$ ise $f(x)$ i bulunuz.

Question

$\forall x\in\mathbb{R}\setminus\{\pm1\}$  için $f\left(\dfrac{x-3}{x+1}\right)+f\left(\dfrac{x+3}{1-x}\right)=x$ ise $f(x)$ i bulunuz.

Answer 1

$g(x)=\dfrac{x-3}{x+1}$  olsun. $g^{-1}(x)=\dfrac{x+3}{1-x}$ olur.
$h(x)=\dfrac{x+3}{1-x}$  olsun. $h^{-1}(x)=\dfrac{x-3}{x+1}$ olur.
$f\left(\dfrac{x-3}{x+1}\right)+f\left(\dfrac{x+3}{1-x}\right)=x$ ise
$x=g^{-1}(y)=\dfrac{y+3}{1-y}$  olmak uzere
$f(y)+f\left(\dfrac{y-3}{1+y}\right)=\dfrac{y+3}{1-y}$  olur.   $(1)$
Ayni sekilde $x=h^{-1}(y)=\dfrac{y-3}{y+1}$  olmak uzere
$f\left(\dfrac{y+3}{1-y}\right)+f(y)=\dfrac{y-3}{1+y}$  olur.   $(2)$
$(1)+(2)$  ve $f\left(\dfrac{y-3}{y+1}\right)=y-f\left(\dfrac{y+3}{1-y}\right)$  oldugunu kullanirsak.
$f(y)=\dfrac{y^3+7y}{2-2 y^2}\implies f(x)=\dfrac{x^3+7x}{2-2x^2}$

Answer 2

OkkesDulgerci nin çözümünün (sorunun, benim gördüğüm çözümü de benzer idi) mantığı (ve belki azıcık Lisans düzeyi  çözümü) şöyle:
(Bu çözüm nedeniyle soruya Lisans kategorisi seçtim, aslında Orta Öğretim düzeyi çözülebiliyor)
Oradaki gibi $g(x)=\dfrac{x-3}{x+1}$ dersek, sorunun püf noktası, $g(g(g(x)))=x$ olması, yani $g$ fonksiyonunun, bileşke işlemi altında derecesinin $3$ olması

(Burada, $g$ nin $-1$ de tanımsız olması ve $1$ değerini almıyor olması hiç önemli değil, "projektif doğru:" $\mathbb{R}\cup\{\infty\}$ ye genişletilince 1-1 eşleme oluyor).

Şimdi özdeşlik fonsiyonuna $\mathbb{I}$ dersek ($\forall x\in\mathbb{R}$ için $\mathbb{I}(x)=x$), $g\circ g\circ g=\mathbb{I}$ olur.

Denklemimiz:

$f\circ g+f\circ g^{-1}=\mathbb{I}$ (ve $g^{-1}=g\circ g$ olduğu için) eşdeğer olarak, $f\circ g+f\circ g\circ g=\mathbb{I}$ şekline gelir.

Sağdan $g$ ile bileşke alarak, $f\circ g\circ g+f=g$ elde ederiz.

Tekrar sağdan $g$ ile bileşke alarak, $f+f\circ g=g\circ g$ elde ederiz.

Şimdi elimizde aşağıdaki lineer denklem sistemi var:

$0\cdot f+1\cdot f\circ g+1\cdot f\circ g\circ g=\mathbb{I}$

$1\cdot f+0\cdot f\circ g+1\cdot f\circ g\circ g=g$

$1\cdot f+1\cdot f\circ g+0\cdot f\circ g\circ g=g\circ g$

Bu, üç fonksiyon ($f,f\circ g,f\circ g\circ g$)  bilinmeyenli (homojen olmayan) lineer denklem sistemini Cramer in kuralı ile çözebiliriz.

$f=\dfrac{\left|\begin{array}0\mathbb{I}&1&1\\g&0&1\\g\circ g&1&0\end{array}\right|}{\left|\begin{array} 00&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{array}\right|}=\dfrac{g+g\circ g-\mathbb{I}}{2}$ bulunur.

Bu da, $f(x)=\dfrac{x^3+7x}{2-2x^2}$ olması demektir.