Bir üçgenin alanının $A=\dfrac{a^2}{2(\cot\beta+\cot\gamma)}$ olduğunu gösteriniz.

Question

Bir kenarı $a$, bu kenara bitişik açıları $\beta$ ve $\gamma$ olan üçgenin alanının $A=\dfrac{a^2}{2(\cot\beta+\cot\gamma)}$ olduğunu gösteriniz.

Answer 1

Çözüm 1: Çözümde $$ \dfrac{a}{\sin \alpha} = \dfrac{b}{\sin \beta} = \dfrac{c}{\sin\gamma} = 2R $$ eşitliği ile bilinen sinüs teoremini kullanacağız:

 

$Alan = \dfrac{abc}{4R} = \dfrac{a\cdot 4R^2 \sin\beta \sin\gamma}{4R} = \dfrac{a^2 \sin\beta \sin\gamma}{2\sin\alpha}=\dfrac{a^2 \sin\beta \sin\gamma}{2\sin (\beta + \gamma)} = \dfrac{a^2 \sin\beta \sin\gamma}{2(\sin\beta \cos\gamma + \cos\beta \sin\gamma)} = \dfrac{a^2}{2(\cot\beta + \cot\gamma)}$

 
elde edilir.

 

Çözüm 2: Tekrar düşününce daha basit bir geometrik çözümü olduğunu farkettim.

$A$ dan $BC$'ye inen dikme ayağı $H$ olsun. $|AH|=h$ diyelim. $H$ noktasını $B$ ile $C$ arasında olarak düşünelim: $|BH|=h\cot\beta$, $|CH| = h\cot\gamma$ olup $a= |BC|=h(\cot\beta + \cot\gamma)$ olur.

$$Alan = \dfrac{ah}{2} = \dfrac{a^2h}{2a} = \dfrac{a^2h}{h(\cot\beta + \cot\gamma)} = \dfrac{a^2}{2(\cot\beta + \cot\gamma)} $$

elde edilir. $B$ noktası $H$ ile $C$'nin arasında kalırsa (yani $\beta >90^\circ$ iken) yine $a = |BC|= |HC| - |HB| = h(\cot\beta + \cot\gamma)$ bağıntısının geçerli olacağına dikkat edelim. $C$ noktası $H$ ile $B$'nin arasında kalırsa bu da benzer durumdur. İspat tamamlanmış olur.

Answer 2

Formülün sinüslü hali aşağıdaki gibi elde olunur:

Sinüs teoreminden $b=a\dfrac{sin\beta}{sinA},c=a\dfrac{sin\gamma}{sinA}$ olarak yazılabilir.

Sinüslü alan formülünde bu değerler yerine yazılarak

$S=\dfrac{1}{2}bcsin A$

$S=\dfrac{1}{2}a\dfrac{sin\beta}{sin A}a\dfrac{sin\gamma}{sin A}sin A$

$S=\dfrac{a^2}{2}\dfrac{sin\beta sin\gamma}{sin(\beta+\gamma) }$ elde edilir.