Bir Ailenin Doğurduğu Filtre

Question

$X \neq \emptyset$ küme ve $\mathcal{A} \subseteq 2^X$ ailesi sonlu kesişim özelliğine sahip olmak üzere
$$\mathcal{F}_{\mathcal{A}}:=\left\{F| F \supseteq G \in \mathcal{M}= \left\{\bigcap \mathcal{A}^* \big{|} (\mathcal{A}^* \subseteq \mathcal{A})(|\mathcal{A}^*|< \aleph_0)\right\}\right\}$$ ailesinin $X$'de bir filtre olduğunu gösteriniz. Bu filtreye $\mathcal{A}$ ailesinin doğurduğu (ürettiği) filtre denir.

 

Tanım: $X \neq \emptyset$ küme ve $\mathcal{A} \subseteq 2^X$ olsun. Eğer $\mathcal{A}$ ailesinin sonlu her altailesinin kesişimi boştan farklı ise o zaman $\mathcal{A}$ ailesine sonlu kesişim özelliğine sahip (s.k.ö.) aksi halde sonlu kesişim özelliğine sahip değil denir.

Biçimsel olarak
$$(X \neq \emptyset)(\mathcal{A} \subseteq 2^X)$$ $$:\Rightarrow$$ $$\mathcal{A}, \text{ sonlu kesişim özelliğine sahip} :\Leftrightarrow (\forall \mathcal{A}^*\subseteq \mathcal{A})\left(|\mathcal{A}^*| < \aleph_0 \Rightarrow \bigcap \mathcal{A}^* \neq \emptyset\right)$$ $$\mathcal{A}, \text{ sonlu kesişim özelliğine sahip değil} :\Leftrightarrow (\exists \mathcal{A}^*\subseteq \mathcal{A})\left(|\mathcal{A}^*| < \aleph_0 \wedge \bigcap \mathcal{A}^* = \emptyset\right)$$
şeklinde ifade edilir.

Answer 1

$ \mathbf{F_1)}$ $\emptyset\notin\mathcal{F}_{\mathcal{A}}$ olduğunu gösterelim.
$\left.\begin{array}{r} (\mathcal{A}^* \subseteq \mathcal{A})(|\mathcal{A}^*|< \aleph_0)\\ \\ \mathcal{A}, \text{ s.k.ö.} \end{array} \right\}\Rightarrow \begin{array}{l} \\ \\ \!\!\!\!\!\!\!\!\! \left. \begin{array}{rr} \bigcap \mathcal{A}^* \neq \emptyset\Rightarrow \emptyset\notin\mathcal{M}  \\ \\ \mathcal{F}_{\mathcal{A}}=\{F| F \supseteq G \in \mathcal{M}\} \end{array} \right\} \Rightarrow \emptyset \notin \mathcal{F}_{\mathcal{A}}. \end{array}$
 

$ \mathbf{F_2)}$ $F_1,F_2 \in \mathcal{F}$ olsun.

 

$\left.\begin{array}{rr}F_1\in \mathcal{F} \Rightarrow (\exists G_1 \in \mathcal{M})(G_1 \subseteq F_1)\Rightarrow (\exists \mathcal{A}_1^*\subseteq \mathcal{A})(|\mathcal{A}_1^*|< \aleph_0)(G_1=\bigcap \mathcal{A}_1^*\subseteq F_1) \\ \\ F_2\in \mathcal{F} \Rightarrow (\exists G_2 \in \mathcal{M})(G_2 \subseteq F_2)\Rightarrow (\exists \mathcal{A}_2^*\subseteq \mathcal{A})(|\mathcal{A}_2^*|< \aleph_0)(G_2=\bigcap \mathcal{A}_2^*\subseteq F_2)\end{array}\right\}\Rightarrow $
 

$\begin{array}{l}\Rightarrow(\mathcal{A}_1^* \cup \mathcal{A}_2^* \subseteq \mathcal{A})(|\mathcal{A}_1^* \cup \mathcal{A}_2^*|< \aleph_0)(G_1 \cap G_2=\bigcap (\mathcal{A}_1^* \cup \mathcal{A}_2^*) \subseteq F_1 \cap F_2)\end{array}$

 

$\left.\begin{array}{rr}
\Rightarrow (G_1 \cap G_2 \in \mathcal{M})(G_1\cap G_2 \subseteq F_1 \cap F_2) \\ \\ \mathcal{F}=\{F| F \supseteq G \in \mathcal{M}\} \end{array}\right\}\Rightarrow F_1 \cap F_2 \in \mathcal{F}.$
 

$ \mathbf{F_3)}$ $F \in \mathcal{F}$ ve $F \subseteq E$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr}
 F \in \mathcal{F} \Rightarrow (\exists G \in \mathcal{M})(G \subseteq F) \\ \\ F \subseteq E \end{array}\right\} \Rightarrow E\supseteq G \in \mathcal{M}\Rightarrow E\in \mathcal{F}.$