Question

$f:X\to Y$ fonksiyon ve $\mathcal{I}\subseteq 2^X$ olmak üzere $$\mathcal{I}, \ X\text{'de ideal}\Rightarrow \mathcal{J}:=\{f(I)|I\in\mathcal{I}\}, \ Y\text{'de ideal}$$ olduğunu gösteriniz.

 

Tanım: $X$ herhangi bir küme ve $\mathcal{I}\subseteq 2^X$ olsun.

 

$\mathcal{I}, \ X\text{'de ideal}:\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} I_1) \ (A\in\mathcal{I})(B\subseteq A)\Rightarrow B\in\mathcal{I} \\ \\ I_2) \ A,B\in\mathcal{I}\Rightarrow A\cup B\in\mathcal{I}\end{array}\right.$

Answer 1

$\mathbf{I_1)}$ $A\in\mathcal{J}$ ve $B\subseteq A$ olsun. (Amacımız $B\in\mathcal{J}$ olduğunu göstermek).

$\left.\begin{array}{rr}A\in\mathcal{J}\Rightarrow (\exists I_1\in\mathcal{I})(A=f(I_1)) \\ \\ I_2:=f^{-1}[B]\cap I_1\subseteq I_1 \\ \\ \mathcal{I}, \ X \text{'de ideal} \end{array}\right\}\Rightarrow (I_2\in \mathcal{I})(B=f(I_2))$

 $\Rightarrow B\in \mathcal{J}.$

$\mathbf{I_2)}$ $A,B\in\mathcal{J}$ olsun. (Amacımız $A\cup B\in\mathcal{J}$ olduğunu göstermek).

$\left.\begin{array}{rr} A\in\mathcal{J}\Rightarrow (\exists I_1\in\mathcal{I})(A=f(I_1)) \\ \\  B\in\mathcal{J}\Rightarrow (\exists I_2\in\mathcal{I})(B=f(I_2)) \\ \\ \mathcal{I}, \ X \text{'de ideal} \end{array}\right\}\Rightarrow (I_1\cup I_2\in \mathcal{I})(A\cup B=f(I_1\cup I_2))$

$\Rightarrow A\cup B\in \mathcal{J}.$

Comments

$\mathbf{I}_1$ de $I_2=f^{-1}[B]\bigcap I_1$ olarak da tanımlanabilir (aynı küme oluyor).

---

Evet hocam haklısınız. Hatta sizin seçiminiz daha şık. Teşekkürler.