$\dfrac{x^2-x+4} {(x-2)^2}$ ifadesinin en küçük değeri

Question

$x$ bir reel sayı ise $\dfrac{x^2-x+4}{(x-2)^2}$ ifadesinin en küçük değerini bulunuz.

Türev kullanılmayacak.

Answer 1

$a=(x-2)^{-1}$ olmak üzere $$\begin{align*}\dfrac{x^2-x+4} {(x-2)^2} \ &= \ 1+\dfrac3{x-2}+\dfrac6{(x-2)^2}\\[12pt] &=\ 1+3a+6a^2\\[12pt] &=\ \frac58+6\left(a+\frac14\right)^2\end{align*}$$ eşitliği gereği $x=-2$ değeri için bu ifade en küçük $5/8$ değerini alır.

Answer 2

Her $x\in \mathbb{R}$ ve verilen rasyonel ifadenin ekstremum(minumum) değeri $a\in \mathbb{R}$ olsun. Bu durumda

$$\frac{x^2-x+4} {(x-2)^2}\ge a$$ eşitsizliği sağlanır. Düzenlersek $$(1-a)x^2+(4a-1)x+4-4a\le 0$$ eşitsizliğinin sağlanması için $\Delta \le 0$ olmalı. Buradan $$(4a-1)^2-16(1-a)^2\le 0$$ $$8a-5\le 0$$ $$a\le \frac{5} {8}$$ $$a=\frac{5}{8}$$ olmalıdır.

Answer 3

$f(x) =y=\frac{x^2-x+2}{(x-2)^2}$ fonksiyonunun görüntü kümesi bulunarak da çözüme ulaşılabilir. Bunun için $f$ fonksiyonunun tersi bulunmalıdır. Yukarıdaki denklem $$(y-1)x^2 +(-4y+1)x+4y-4=0$$ şeklinde yazılıp $x$ değişkenine göre çözülürse   $$f^{-1}(x) =\frac{4y-1\pm\sqrt{3(8y-5)}}{2y-2}$$ bulunur. Buna göre $y\ge \frac{5} {8}$ olduğu görülür.